Matemática discreta Ejemplos

$\frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b + c}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b + c}} \cdot (1 + \frac{b^{2} + c^{2} - q^{2}}{2 b c}) \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $a (b + c)$ .

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b + c}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b + c}}$ por $\frac{a (b + c)}{a (b + c)}$ .

$\frac{a (b + c)}{a (b + c)} \cdot \frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b + c}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b + c}} \cdot (1 + \frac{b^{2} + c^{2} - q^{2}}{2 b c}) \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 1.2

Combinar.

$\frac{a (b + c) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b + c})}{a (b + c) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b + c})} \cdot (1 + \frac{b^{2} + c^{2} - q^{2}}{2 b c}) \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a (b + c) (\frac{1}{a}) + a (b + c) (- \frac{1}{b + c})}{a (b + c) (\frac{1}{a}) + a (b + c) (\frac{1}{b + c})} \cdot (1 + \frac{b^{2} + c^{2} - q^{2}}{2 b c}) \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a (b + c) (\frac{1}{a}) + a (b + c) (- \frac{1}{b + c})}{a (b + c) (\frac{1}{a}) + a (b + c) (\frac{1}{b + c})} \cdot (1 + \frac{b^{2} + c^{2} - q^{2}}{2 b c}) \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{b + c + a (b + c) (- \frac{1}{b + c})}{a (b + c) (\frac{1}{a}) + a (b + c) (\frac{1}{b + c})} \cdot (1 + \frac{b^{2} + c^{2} - q^{2}}{2 b c}) \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $b + c$ .

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Paso 3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{b + c}$ al numerador.

$\frac{b + c + a (b + c) (\frac{- 1}{b + c})}{a (b + c) (\frac{1}{a}) + a (b + c) (\frac{1}{b + c})} \cdot (1 + \frac{b^{2} + c^{2} - q^{2}}{2 b c}) \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 3.2.2

Factoriza $b + c$ de $a (b + c)$ .

$\frac{b + c + (b + c) a (\frac{- 1}{b + c})}{a (b + c) (\frac{1}{a}) + a (b + c) (\frac{1}{b + c})} \cdot (1 + \frac{b^{2} + c^{2} - q^{2}}{2 b c}) \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{b + c + (b + c) a (\frac{- 1}{b + c})}{a (b + c) (\frac{1}{a}) + a (b + c) (\frac{1}{b + c})} \cdot (1 + \frac{b^{2} + c^{2} - q^{2}}{2 b c}) \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{b + c + a \cdot - 1}{a (b + c) (\frac{1}{a}) + a (b + c) (\frac{1}{b + c})} \cdot (1 + \frac{b^{2} + c^{2} - q^{2}}{2 b c}) \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{b + c + a \cdot - 1}{a (b + c) (\frac{1}{a}) + a (b + c) (\frac{1}{b + c})} \cdot (1 + \frac{b^{2} + c^{2} - q^{2}}{2 b c}) \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{b + c + a \cdot - 1}{b + c + a (b + c) (\frac{1}{b + c})} \cdot (1 + \frac{b^{2} + c^{2} - q^{2}}{2 b c}) \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $b + c$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $b + c$ de $a (b + c)$ .

$\frac{b + c + a \cdot - 1}{b + c + (b + c) a (\frac{1}{b + c})} \cdot (1 + \frac{b^{2} + c^{2} - q^{2}}{2 b c}) \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{b + c + a \cdot - 1}{b + c + (b + c) a (\frac{1}{b + c})} \cdot (1 + \frac{b^{2} + c^{2} - q^{2}}{2 b c}) \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 3.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{b + c + a \cdot - 1}{b + c + a} \cdot (1 + \frac{b^{2} + c^{2} - q^{2}}{2 b c}) \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $a$ .

$\frac{b + c - 1 \cdot a}{b + c + a} \cdot (1 + \frac{b^{2} + c^{2} - q^{2}}{2 b c}) \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 4.2

Reescribe $- 1 a$ como $- a$ .

$\frac{b + c - a}{b + c + a} \cdot (1 + \frac{b^{2} + c^{2} - q^{2}}{2 b c}) \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 5

Combina en una fracción.

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Paso 5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{b + c - a}{b + c + a} \cdot 1 + \frac{b^{2} + c^{2} - q^{2}}{2 b c} \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{b + c - a}{b + c + a} \cdot \frac{2 b c}{2 b c} + \frac{b^{2} + c^{2} - q^{2}}{2 b c} \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{b + c - a}{b + c + a} \cdot \frac{2 b c + b^{2} + c^{2} - q^{2}}{2 b c} \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 6.1.1

Reorganiza los términos.

$\frac{b + c - a}{b + c + a} \cdot \frac{b^{2} + 2 b c + c^{2} - q^{2}}{2 b c} \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 6.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 b c = 2 \cdot b \cdot c$

Paso 6.1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{b + c - a}{b + c + a} \cdot \frac{b^{2} + 2 \cdot b \cdot c + c^{2} - q^{2}}{2 b c} \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 6.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = b$ y $b = c$ .

$\frac{b + c - a}{b + c + a} \cdot \frac{{(b + c)}^{2} - q^{2}}{2 b c} \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 6.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = b + c$ y $b = q$ .

$\frac{b + c - a}{b + c + a} \cdot \frac{(b + c + q) (b + c - q)}{2 b c} \cdot \frac{a b c}{a - b - c}$

Paso 7

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$b + c + a, 2 b c, a - b - c$

Paso 8

Since $b + c + a, 2 b c, a - b - c$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Los pasos para obtener el MCM para $b + c + a, 2 b c, a - b - c$ son los siguientes:

1. Busca el MCM para la parte numérica $1, 2, 1$ .

2. Busca el MCM para la parte variable $b^{1}, c^{1}$ .

3. Busca el MCM para la parte de variable compuesta $b + c + a, a - b - c$ .

4. Multiplica cada MCM junto.

Paso 9

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 10

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 11

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 12

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 13

El MCM de $1, 2, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2$

Paso 14

El factor para $b^{1}$ es $b$ en sí mismo.

$b^{1} = b$

$b$ ocurre $1$ vez.

Paso 15

El factor para $c^{1}$ es $c$ en sí mismo.

$c^{1} = c$

$c$ ocurre $1$ vez.

Paso 16

El MCM de $b^{1}, c^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$b \cdot c$

Paso 17

Multiplica $b$ por $c$ .

$b c$

Paso 18

El factor para $b + c + a$ es $b + c + a$ en sí mismo.

$(b + c + a) = b + c + a$

$(b + c + a)$ ocurre $1$ vez.

Paso 19

El factor para $a - b - c$ es $a - b - c$ en sí mismo.

$(a - b - c) = a - b - c$

$(a - b - c)$ ocurre $1$ vez.

Paso 20

El MCM de $b + c + a, a - b - c$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(b + c + a) (a - b - c)$

Paso 21

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$2 b c (b + c + a) (a - b - c)$