Matemática discreta Ejemplos

$3 x + y - z = 0$ , $2 x - y + 3 z = - 7$

Paso 1

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x - z = - y$

$2 x - y + 3 z = - 7$

Paso 1.1.2

Suma $z$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = - y + z$

$2 x - y + 3 z = - 7$

$3 x = - y + z$

$2 x - y + 3 z = - 7$

Paso 1.2

Divide cada término en $3 x = - y + z$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $3 x = - y + z$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- y}{3} + \frac{z}{3}$

$2 x - y + 3 z = - 7$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- y}{3} + \frac{z}{3}$

$2 x - y + 3 z = - 7$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y}{3} + \frac{z}{3}$

$2 x - y + 3 z = - 7$

$x = \frac{- y}{3} + \frac{z}{3}$

$2 x - y + 3 z = - 7$

$x = \frac{- y}{3} + \frac{z}{3}$

$2 x - y + 3 z = - 7$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

$2 x - y + 3 z = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

$2 x - y + 3 z = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

$2 x - y + 3 z = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

$2 x - y + 3 z = - 7$

Paso 2

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 2.1

Simplifica $2 (- \frac{y}{3} + \frac{z}{3}) - y + 3 z$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (- \frac{y}{3}) + 2 (\frac{z}{3}) - y + 3 z = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.1.1.2

Multiplica $2 (- \frac{y}{3})$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \frac{y}{3} + 2 (\frac{z}{3}) - y + 3 z = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.1.1.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{y}{3}$ .

$\frac{- 2 y}{3} + 2 (\frac{z}{3}) - y + 3 z = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

$\frac{- 2 y}{3} + 2 (\frac{z}{3}) - y + 3 z = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.1.1.3

Combina $2$ y $\frac{z}{3}$ .

$\frac{- 2 y}{3} + \frac{2 z}{3} - y + 3 z = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.1.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 y}{3} + \frac{2 z}{3} - y + 3 z = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

$- \frac{2 y}{3} + \frac{2 z}{3} - y + 3 z = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.1.2

Para escribir $- y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 z}{3} - \frac{2 y}{3} - y \cdot \frac{3}{3} + 3 z = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.1.3

Combina $- y$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 z}{3} - \frac{2 y}{3} + \frac{- y \cdot 3}{3} + 3 z = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 z}{3} + \frac{- 2 y - y \cdot 3}{3} + 3 z = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 z + \frac{2 z - 2 y - y \cdot 3}{3} = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.1.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 z + \frac{2 z - 2 y - 3 y}{3} = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.1.7

Resta $3 y$ de $- 2 y$ .

$3 z + \frac{2 z - 5 y}{3} = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.1.8

Para escribir $3 z$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 z \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 z - 5 y}{3} = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.1.9

Simplifica los términos.

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Paso 2.1.9.1

Combina $3 z$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 z \cdot 3}{3} + \frac{2 z - 5 y}{3} = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.1.9.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 z \cdot 3 + 2 z - 5 y}{3} = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

$\frac{3 z \cdot 3 + 2 z - 5 y}{3} = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.1.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.10.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9 z + 2 z - 5 y}{3} = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.1.10.2

Suma $9 z$ y $2 z$ .

$\frac{11 z - 5 y}{3} = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

$\frac{11 z - 5 y}{3} = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

$\frac{11 z - 5 y}{3} = - 7$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.2

Multiplica ambos lados por $3$ .

$\frac{11 z - 5 y}{3} \cdot 3 = - 7 \cdot 3$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.1

Simplifica $\frac{11 z - 5 y}{3} \cdot 3$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{11 z - 5 y}{3} \cdot 3 = - 7 \cdot 3$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$11 z - 5 y = - 7 \cdot 3$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

$11 z - 5 y = - 7 \cdot 3$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.3.1.1.2

Reordena $11 z$ y $- 5 y$ .

$- 5 y + 11 z = - 7 \cdot 3$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

$- 5 y + 11 z = - 7 \cdot 3$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

$- 5 y + 11 z = - 7 \cdot 3$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $- 7$ por $3$ .

$- 5 y + 11 z = - 21$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

$- 5 y + 11 z = - 21$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

$- 5 y + 11 z = - 21$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.4

Resuelve $y$

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Paso 2.4.1

Resta $11 z$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 y = - 21 - 11 z$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.4.2

Divide cada término en $- 5 y = - 21 - 11 z$ por $- 5$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.1

Divide cada término en $- 5 y = - 21 - 11 z$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{- 21}{- 5} + \frac{- 11 z}{- 5}$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 2.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{- 21}{- 5} + \frac{- 11 z}{- 5}$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 21}{- 5} + \frac{- 11 z}{- 5}$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

$y = \frac{- 21}{- 5} + \frac{- 11 z}{- 5}$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

$y = \frac{- 21}{- 5} + \frac{- 11 z}{- 5}$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{21}{5} + \frac{- 11 z}{- 5}$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 2.4.2.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

$x = - \frac{y}{3} + \frac{z}{3}$

Paso 3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1

Simplifica $- \frac{\frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}}{3} + \frac{z}{3}$ .

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Paso 3.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- (\frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}) + z}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

Paso 3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- \frac{21}{5} - \frac{11 z}{5} + z}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

Paso 3.1.3

Para escribir $z$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$x = \frac{- \frac{21}{5} - \frac{11 z}{5} + z \cdot \frac{5}{5}}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

Paso 3.1.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.1.4.1

Combina $z$ y $\frac{5}{5}$ .

$x = \frac{- \frac{21}{5} - \frac{11 z}{5} + \frac{z \cdot 5}{5}}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

Paso 3.1.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- \frac{21}{5} + \frac{- 11 z + z \cdot 5}{5}}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

Paso 3.1.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{\frac{- 21 - 11 z + z \cdot 5}{5}}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

$x = \frac{\frac{- 21 - 11 z + z \cdot 5}{5}}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

Paso 3.1.5

Mueve $5$ a la izquierda de $z$ .

$x = \frac{\frac{- 21 - 11 z + 5 z}{5}}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

Paso 3.1.6

Simplifica los términos.

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Paso 3.1.6.1

Suma $- 11 z$ y $5 z$ .

$x = \frac{\frac{- 21 - 6 z}{5}}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

Paso 3.1.6.2

Factoriza $3$ de $- 21 - 6 z$ .

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Paso 3.1.6.2.1

Factoriza $3$ de $- 21$ .

$x = \frac{\frac{3 (- 7) - 6 z}{5}}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

Paso 3.1.6.2.2

Factoriza $3$ de $- 6 z$ .

$x = \frac{\frac{3 (- 7) + 3 (- 2 z)}{5}}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

Paso 3.1.6.2.3

Factoriza $3$ de $3 (- 7) + 3 (- 2 z)$ .

$x = \frac{\frac{3 (- 7 - 2 z)}{5}}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

$x = \frac{\frac{3 (- 7 - 2 z)}{5}}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

Paso 3.1.6.3

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{\frac{3 (- 1 \cdot 7 - 2 z)}{5}}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

Paso 3.1.6.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 z$ .

$x = \frac{\frac{3 (- 1 \cdot 7 - (2 z))}{5}}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

Paso 3.1.6.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (7) - (2 z)$ .

$x = \frac{\frac{3 (- 1 (7 + 2 z))}{5}}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

Paso 3.1.6.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{- \frac{3 (7 + 2 z)}{5}}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

$x = \frac{- \frac{3 (7 + 2 z)}{5}}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

Paso 3.1.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{3 (7 + 2 z)}{5} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

Paso 3.1.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 (7 + 2 z)}{5}$ al numerador.

$x = \frac{- 3 (7 + 2 z)}{5} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

Paso 3.1.8.2

Factoriza $3$ de $- 3 (7 + 2 z)$ .

$x = \frac{3 (- (7 + 2 z))}{5} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

Paso 3.1.8.3

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 (- (7 + 2 z))}{5} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

Paso 3.1.8.4

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- (7 + 2 z)}{5}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

$x = \frac{- (7 + 2 z)}{5}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

Paso 3.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{7 + 2 z}{5}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

$x = - \frac{7 + 2 z}{5}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

$x = - \frac{7 + 2 z}{5}$

$y = \frac{21}{5} + \frac{11 z}{5}$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Reordena $\frac{21}{5}$ y $\frac{11 z}{5}$ .

$y = \frac{11 z}{5} + \frac{21}{5}$

$x = - \frac{7 + 2 z}{5}$

$y = \frac{11 z}{5} + \frac{21}{5}$

$x = - \frac{7 + 2 z}{5}$