Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 18 & - 32 \\ - 9 & 20 \end{array}]$

Paso 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 2

Find the determinant.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$18 \cdot 20 - (- 9 \cdot - 32)$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $18$ por $20$ .

$360 - (- 9 \cdot - 32)$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- (- 9 \cdot - 32)$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica $- 9$ por $- 32$ .

$360 - 1 \cdot 288$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $288$ .

$360 - 288$

Paso 2.2.2

Resta $288$ de $360$ .

$72$

Paso 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{72} [\begin{array}{c} 20 & 32 \\ 9 & 18 \end{array}]$

Paso 5

Multiplica $\frac{1}{72}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{72} \cdot 20 & \frac{1}{72} \cdot 32 \\ \frac{1}{72} \cdot 9 & \frac{1}{72} \cdot 18 \end{array}]$

Paso 6

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $4$ de $72$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4 (18)} \cdot 20 & \frac{1}{72} \cdot 32 \\ \frac{1}{72} \cdot 9 & \frac{1}{72} \cdot 18 \end{array}]$

Paso 6.1.2

Factoriza $4$ de $20$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4 \cdot 18} \cdot (4 \cdot 5) & \frac{1}{72} \cdot 32 \\ \frac{1}{72} \cdot 9 & \frac{1}{72} \cdot 18 \end{array}]$

Paso 6.1.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4 \cdot 18} \cdot (4 \cdot 5) & \frac{1}{72} \cdot 32 \\ \frac{1}{72} \cdot 9 & \frac{1}{72} \cdot 18 \end{array}]$

Paso 6.1.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{18} \cdot 5 & \frac{1}{72} \cdot 32 \\ \frac{1}{72} \cdot 9 & \frac{1}{72} \cdot 18 \end{array}]$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{18}$ y $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{18} & \frac{1}{72} \cdot 32 \\ \frac{1}{72} \cdot 9 & \frac{1}{72} \cdot 18 \end{array}]$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $8$ de $72$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{18} & \frac{1}{8 (9)} \cdot 32 \\ \frac{1}{72} \cdot 9 & \frac{1}{72} \cdot 18 \end{array}]$

Paso 6.3.2

Factoriza $8$ de $32$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{18} & \frac{1}{8 \cdot 9} \cdot (8 \cdot 4) \\ \frac{1}{72} \cdot 9 & \frac{1}{72} \cdot 18 \end{array}]$

Paso 6.3.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{18} & \frac{1}{8 \cdot 9} \cdot (8 \cdot 4) \\ \frac{1}{72} \cdot 9 & \frac{1}{72} \cdot 18 \end{array}]$

Paso 6.3.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{18} & \frac{1}{9} \cdot 4 \\ \frac{1}{72} \cdot 9 & \frac{1}{72} \cdot 18 \end{array}]$

Paso 6.4

Combina $\frac{1}{9}$ y $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{18} & \frac{4}{9} \\ \frac{1}{72} \cdot 9 & \frac{1}{72} \cdot 18 \end{array}]$

Paso 6.5

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza $9$ de $72$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{18} & \frac{4}{9} \\ \frac{1}{9 (8)} \cdot 9 & \frac{1}{72} \cdot 18 \end{array}]$

Paso 6.5.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{18} & \frac{4}{9} \\ \frac{1}{9 \cdot 8} \cdot 9 & \frac{1}{72} \cdot 18 \end{array}]$

Paso 6.5.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{18} & \frac{4}{9} \\ \frac{1}{8} & \frac{1}{72} \cdot 18 \end{array}]$

Paso 6.6

Cancela el factor común de $18$ .

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Paso 6.6.1

Factoriza $18$ de $72$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{18} & \frac{4}{9} \\ \frac{1}{8} & \frac{1}{18 (4)} \cdot 18 \end{array}]$

Paso 6.6.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{18} & \frac{4}{9} \\ \frac{1}{8} & \frac{1}{18 \cdot 4} \cdot 18 \end{array}]$

Paso 6.6.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{18} & \frac{4}{9} \\ \frac{1}{8} & \frac{1}{4} \end{array}]$