Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 6 \\ 4 & 0 & 9 \\ 5 & 15 & 30 \end{array}]$

Paso 1

Find the determinant.

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Paso 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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Paso 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 15 & 30 \end{array} |$

Paso 1.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 15 & 30 \end{array} |$

Paso 1.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 5 & 30 \end{array} |$

Paso 1.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 5 & 30 \end{array} |$

Paso 1.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 5 & 15 \end{array} |$

Paso 1.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$- 9 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 5 & 15 \end{array} |$

Paso 1.1.9

Add the terms together.

$- 4 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 15 & 30 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 5 & 30 \end{array} | - 9 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 5 & 15 \end{array} |$

Paso 1.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 5 & 30 \end{array} |$ .

$- 4 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 15 & 30 \end{array} | + 0 - 9 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 5 & 15 \end{array} |$

Paso 1.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 15 & 30 \end{array} |$ .

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Paso 1.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 4 (3 \cdot 30 - 15 \cdot 6) + 0 - 9 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 5 & 15 \end{array} |$

Paso 1.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1.1

Multiplica $3$ por $30$ .

$- 4 (90 - 15 \cdot 6) + 0 - 9 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 5 & 15 \end{array} |$

Paso 1.3.2.1.2

Multiplica $- 15$ por $6$ .

$- 4 (90 - 90) + 0 - 9 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 5 & 15 \end{array} |$

Paso 1.3.2.2

Resta $90$ de $90$ .

$- 4 \cdot 0 + 0 - 9 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 5 & 15 \end{array} |$

Paso 1.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 5 & 15 \end{array} |$ .

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Paso 1.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 4 \cdot 0 + 0 - 9 (1 \cdot 15 - 5 \cdot 3)$

Paso 1.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.1.1

Multiplica $15$ por $1$ .

$- 4 \cdot 0 + 0 - 9 (15 - 5 \cdot 3)$

Paso 1.4.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$- 4 \cdot 0 + 0 - 9 (15 - 15)$

Paso 1.4.2.2

Resta $15$ de $15$ .

$- 4 \cdot 0 + 0 - 9 \cdot 0$

Paso 1.5

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$0 + 0 - 9 \cdot 0$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $- 9$ por $0$ .

$0 + 0 + 0$

Paso 1.5.2

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 0$

Paso 1.5.3

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 2

There is no inverse because the determinant is $0$ .