Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} - (\frac{11}{27}) & - (\frac{13}{27}) & \frac{8}{27} \\ - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} \end{array}]$

Paso 1

Multiplica $- 1$ por $\frac{13}{27}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{27} & - \frac{13}{27} & \frac{8}{27} \\ - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} \end{array}]$

Paso 2

Find the determinant.

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Paso 2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} |$

Paso 2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- \frac{11}{27} | \begin{array}{c} - \frac{1}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} |$

Paso 2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} |$

Paso 2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$\frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} |$

Paso 2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$\frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.1.9

Add the terms together.

$- \frac{11}{27} | \begin{array}{c} - \frac{1}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.2

Evalúa $| \begin{array}{c} - \frac{1}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} |$ .

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Paso 2.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{81} (- \frac{10}{81}) - \frac{23}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $- \frac{1}{81} (- \frac{10}{81})$ .

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Paso 2.2.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{11}{27} (1 (\frac{1}{81}) \frac{10}{81} - \frac{23}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.2.2.1.1.2

Multiplica $\frac{1}{81}$ por $1$ .

$- \frac{11}{27} (\frac{1}{81} \cdot \frac{10}{81} - \frac{23}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.2.2.1.1.3

Multiplica $\frac{1}{81}$ por $\frac{10}{81}$ .

$- \frac{11}{27} (\frac{10}{81 \cdot 81} - \frac{23}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.2.2.1.1.4

Multiplica $81$ por $81$ .

$- \frac{11}{27} (\frac{10}{6561} - \frac{23}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $- \frac{23}{81} \cdot \frac{11}{81}$ .

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Paso 2.2.2.1.2.1

Multiplica $\frac{11}{81}$ por $\frac{23}{81}$ .

$- \frac{11}{27} (\frac{10}{6561} - \frac{11 \cdot 23}{81 \cdot 81}) + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.2.2.1.2.2

Multiplica $11$ por $23$ .

$- \frac{11}{27} (\frac{10}{6561} - \frac{253}{81 \cdot 81}) + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.2.2.1.2.3

Multiplica $81$ por $81$ .

$- \frac{11}{27} (\frac{10}{6561} - \frac{253}{6561}) + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{11}{27} \cdot \frac{10 - 253}{6561} + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.2.2.3

Resta $253$ de $10$ .

$- \frac{11}{27} \cdot \frac{- 243}{6561} + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.2.2.4

Cancela el factor común de $- 243$ y $6561$ .

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Paso 2.2.2.4.1

Factoriza $243$ de $- 243$ .

$- \frac{11}{27} \cdot \frac{243 (- 1)}{6561} + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.2.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.4.2.1

Factoriza $243$ de $6561$ .

$- \frac{11}{27} \cdot \frac{243 \cdot - 1}{243 \cdot 27} + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

Paso 2.2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{11}{27} \cdot \frac{- 1}{27} + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.2.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} | + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.3

Evalúa $| \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & \frac{11}{81} \\ \frac{34}{81} & - \frac{10}{81} \end{array} |$ .

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Paso 2.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{5}{81} (- \frac{10}{81}) - \frac{34}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $- \frac{5}{81} (- \frac{10}{81})$ .

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Paso 2.3.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (1 (\frac{5}{81}) \frac{10}{81} - \frac{34}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.3.2.1.1.2

Multiplica $\frac{5}{81}$ por $1$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (\frac{5}{81} \cdot \frac{10}{81} - \frac{34}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.3.2.1.1.3

Multiplica $\frac{5}{81}$ por $\frac{10}{81}$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (\frac{5 \cdot 10}{81 \cdot 81} - \frac{34}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.3.2.1.1.4

Multiplica $5$ por $10$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (\frac{50}{81 \cdot 81} - \frac{34}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.3.2.1.1.5

Multiplica $81$ por $81$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (\frac{50}{6561} - \frac{34}{81} \cdot \frac{11}{81}) + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.3.2.1.2

Multiplica $- \frac{34}{81} \cdot \frac{11}{81}$ .

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Paso 2.3.2.1.2.1

Multiplica $\frac{11}{81}$ por $\frac{34}{81}$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (\frac{50}{6561} - \frac{11 \cdot 34}{81 \cdot 81}) + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.3.2.1.2.2

Multiplica $11$ por $34$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (\frac{50}{6561} - \frac{374}{81 \cdot 81}) + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.3.2.1.2.3

Multiplica $81$ por $81$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (\frac{50}{6561} - \frac{374}{6561}) + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} \cdot \frac{50 - 374}{6561} + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.3.2.3

Resta $374$ de $50$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} \cdot \frac{- 324}{6561} + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.3.2.4

Cancela el factor común de $- 324$ y $6561$ .

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Paso 2.3.2.4.1

Factoriza $81$ de $- 324$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} \cdot \frac{81 (- 4)}{6561} + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.4.2.1

Factoriza $81$ de $6561$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} \cdot \frac{81 \cdot - 4}{81 \cdot 81} + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

Paso 2.3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} \cdot \frac{- 4}{81} + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.3.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} | \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$

Paso 2.4

Evalúa $| \begin{array}{c} - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{5}{81} \cdot \frac{23}{81} - \frac{34}{81} (- \frac{1}{81}))$

Paso 2.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1.1

Multiplica $- \frac{5}{81} \cdot \frac{23}{81}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1.1.1

Multiplica $\frac{23}{81}$ por $\frac{5}{81}$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{23 \cdot 5}{81 \cdot 81} - \frac{34}{81} (- \frac{1}{81}))$

Paso 2.4.2.1.1.2

Multiplica $23$ por $5$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{115}{81 \cdot 81} - \frac{34}{81} (- \frac{1}{81}))$

Paso 2.4.2.1.1.3

Multiplica $81$ por $81$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{115}{6561} - \frac{34}{81} (- \frac{1}{81}))$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $- \frac{34}{81} (- \frac{1}{81})$ .

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Paso 2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{115}{6561} + 1 (\frac{34}{81}) \frac{1}{81})$

Paso 2.4.2.1.2.2

Multiplica $\frac{34}{81}$ por $1$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{115}{6561} + \frac{34}{81} \cdot \frac{1}{81})$

Paso 2.4.2.1.2.3

Multiplica $\frac{34}{81}$ por $\frac{1}{81}$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{115}{6561} + \frac{34}{81 \cdot 81})$

Paso 2.4.2.1.2.4

Multiplica $81$ por $81$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{115}{6561} + \frac{34}{6561})$

Paso 2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} \cdot \frac{- 115 + 34}{6561}$

Paso 2.4.2.3

Suma $- 115$ y $34$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} \cdot \frac{- 81}{6561}$

Paso 2.4.2.4

Cancela el factor común de $- 81$ y $6561$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.4.1

Factoriza $81$ de $- 81$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} \cdot \frac{81 (- 1)}{6561}$

Paso 2.4.2.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.4.2.1

Factoriza $81$ de $6561$ .

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} \cdot \frac{81 \cdot - 1}{81 \cdot 81}$

Paso 2.4.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} \cdot \frac{81 \cdot - 1}{81 \cdot 81}$

Paso 2.4.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} \cdot \frac{- 1}{81}$

Paso 2.4.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27}) + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{1}{81})$

Paso 2.5

Simplifica el determinante.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Multiplica $- \frac{11}{27} (- \frac{1}{27})$ .

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Paso 2.5.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{11}{27}) \frac{1}{27} + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{1}{81})$

Paso 2.5.1.1.2

Multiplica $\frac{11}{27}$ por $1$ .

$\frac{11}{27} \cdot \frac{1}{27} + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{1}{81})$

Paso 2.5.1.1.3

Multiplica $\frac{11}{27}$ por $\frac{1}{27}$ .

$\frac{11}{27 \cdot 27} + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{1}{81})$

Paso 2.5.1.1.4

Multiplica $27$ por $27$ .

$\frac{11}{729} + \frac{13}{27} (- \frac{4}{81}) + \frac{8}{27} (- \frac{1}{81})$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $\frac{13}{27} (- \frac{4}{81})$ .

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Paso 2.5.1.2.1

Multiplica $\frac{13}{27}$ por $\frac{4}{81}$ .

$\frac{11}{729} - \frac{13 \cdot 4}{27 \cdot 81} + \frac{8}{27} (- \frac{1}{81})$

Paso 2.5.1.2.2

Multiplica $13$ por $4$ .

$\frac{11}{729} - \frac{52}{27 \cdot 81} + \frac{8}{27} (- \frac{1}{81})$

Paso 2.5.1.2.3

Multiplica $27$ por $81$ .

$\frac{11}{729} - \frac{52}{2187} + \frac{8}{27} (- \frac{1}{81})$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $\frac{8}{27} (- \frac{1}{81})$ .

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Paso 2.5.1.3.1

Multiplica $\frac{8}{27}$ por $\frac{1}{81}$ .

$\frac{11}{729} - \frac{52}{2187} - \frac{8}{27 \cdot 81}$

Paso 2.5.1.3.2

Multiplica $27$ por $81$ .

$\frac{11}{729} - \frac{52}{2187} - \frac{8}{2187}$

Paso 2.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{11}{729} + \frac{- 52 - 8}{2187}$

Paso 2.5.3

Resta $8$ de $- 52$ .

$\frac{11}{729} + \frac{- 60}{2187}$

Paso 2.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.4.1

Cancela el factor común de $- 60$ y $2187$ .

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Paso 2.5.4.1.1

Factoriza $3$ de $- 60$ .

$\frac{11}{729} + \frac{3 (- 20)}{2187}$

Paso 2.5.4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.4.1.2.1

Factoriza $3$ de $2187$ .

$\frac{11}{729} + \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 729}$

Paso 2.5.4.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{11}{729} + \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 729}$

Paso 2.5.4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{11}{729} + \frac{- 20}{729}$

Paso 2.5.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{11}{729} - \frac{20}{729}$

Paso 2.5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{11 - 20}{729}$

Paso 2.5.6

Resta $20$ de $11$ .

$\frac{- 9}{729}$

Paso 2.5.7

Cancela el factor común de $- 9$ y $729$ .

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Paso 2.5.7.1

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$\frac{9 (- 1)}{729}$

Paso 2.5.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.7.2.1

Factoriza $9$ de $729$ .

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 81}$

Paso 2.5.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 81}$

Paso 2.5.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{81}$

Paso 2.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{81}$

Paso 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 4

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{27} & - \frac{13}{27} & \frac{8}{27} & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} & \frac{11}{81} & 0 & 1 & 0 \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 5

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{27}{11}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{27}{11}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{27}{11} (- \frac{11}{27}) & - \frac{27}{11} (- \frac{13}{27}) & - \frac{27}{11} \cdot \frac{8}{27} & - \frac{27}{11} \cdot 1 & - \frac{27}{11} \cdot 0 & - \frac{27}{11} \cdot 0 \\ - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} & \frac{11}{81} & 0 & 1 & 0 \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 5.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ - \frac{5}{81} & - \frac{1}{81} & \frac{11}{81} & 0 & 1 & 0 \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 5.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{5}{81} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 5.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{5}{81} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ - \frac{5}{81} + \frac{5}{81} \cdot 1 & - \frac{1}{81} + \frac{5}{81} \cdot \frac{13}{11} & \frac{11}{81} + \frac{5}{81} (- \frac{8}{11}) & 0 + \frac{5}{81} (- \frac{27}{11}) & 1 + \frac{5}{81} \cdot 0 & 0 + \frac{5}{81} \cdot 0 \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 5.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{33} & \frac{1}{11} & - \frac{5}{33} & 1 & 0 \\ \frac{34}{81} & \frac{23}{81} & - \frac{10}{81} & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 5.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{34}{81} R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Paso 5.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{34}{81} R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{33} & \frac{1}{11} & - \frac{5}{33} & 1 & 0 \\ \frac{34}{81} - \frac{34}{81} \cdot 1 & \frac{23}{81} - \frac{34}{81} \cdot \frac{13}{11} & - \frac{10}{81} - \frac{34}{81} (- \frac{8}{11}) & 0 - \frac{34}{81} (- \frac{27}{11}) & 0 - \frac{34}{81} \cdot 0 & 1 - \frac{34}{81} \cdot 0 \end{array}]$

Paso 5.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{33} & \frac{1}{11} & - \frac{5}{33} & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{7}{33} & \frac{2}{11} & \frac{34}{33} & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 5.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{33}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Paso 5.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{33}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ \frac{33}{2} \cdot 0 & \frac{33}{2} \cdot \frac{2}{33} & \frac{33}{2} \cdot \frac{1}{11} & \frac{33}{2} (- \frac{5}{33}) & \frac{33}{2} \cdot 1 & \frac{33}{2} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{7}{33} & \frac{2}{11} & \frac{34}{33} & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 5.4.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{33}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{7}{33} & \frac{2}{11} & \frac{34}{33} & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 5.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{7}{33} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Paso 5.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{7}{33} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{33}{2} & 0 \\ 0 + \frac{7}{33} \cdot 0 & - \frac{7}{33} + \frac{7}{33} \cdot 1 & \frac{2}{11} + \frac{7}{33} \cdot \frac{3}{2} & \frac{34}{33} + \frac{7}{33} (- \frac{5}{2}) & 0 + \frac{7}{33} \cdot \frac{33}{2} & 1 + \frac{7}{33} \cdot 0 \end{array}]$

Paso 5.5.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{33}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{7}{2} & 1 \end{array}]$

Paso 5.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $2$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Paso 5.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $2$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{33}{2} & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 (\frac{1}{2}) & 2 (\frac{7}{2}) & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.6.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{33}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 7 & 2 \end{array}]$

Paso 5.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{3}{2} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Paso 5.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{3}{2} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ 0 - \frac{3}{2} \cdot 0 & 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{5}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & \frac{33}{2} - \frac{3}{2} \cdot 7 & 0 - \frac{3}{2} \cdot 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 7 & 2 \end{array}]$

Paso 5.7.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{27}{11} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 4 & 6 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 7 & 2 \end{array}]$

Paso 5.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{8}{11} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Paso 5.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{8}{11} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{8}{11} \cdot 0 & \frac{13}{11} + \frac{8}{11} \cdot 0 & - \frac{8}{11} + \frac{8}{11} \cdot 1 & - \frac{27}{11} + \frac{8}{11} \cdot 1 & 0 + \frac{8}{11} \cdot 7 & 0 + \frac{8}{11} \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 4 & 6 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 7 & 2 \end{array}]$

Paso 5.8.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{11} & 0 & - \frac{19}{11} & \frac{56}{11} & \frac{16}{11} \\ 0 & 1 & 0 & - 4 & 6 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 7 & 2 \end{array}]$

Paso 5.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{13}{11} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Paso 5.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{13}{11} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{13}{11} \cdot 0 & \frac{13}{11} - \frac{13}{11} \cdot 1 & 0 - \frac{13}{11} \cdot 0 & - \frac{19}{11} - \frac{13}{11} \cdot - 4 & \frac{56}{11} - \frac{13}{11} \cdot 6 & \frac{16}{11} - \frac{13}{11} \cdot - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 4 & 6 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 7 & 2 \end{array}]$

Paso 5.9.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 & - 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & - 4 & 6 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 7 & 2 \end{array}]$

Paso 6

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 5 \\ - 4 & 6 & - 3 \\ 1 & 7 & 2 \end{array}]$