Matemática discreta Ejemplos

$M = [\begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}]$

Paso 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 2

Find the determinant.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 \cdot - 1 - 2 \cdot 3$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 - 2 \cdot 3$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$2 - 6$

Paso 2.2.2

Resta $6$ de $2$ .

$- 4$

Paso 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 4} [\begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 2 \end{array}]$

Paso 5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4} [\begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 2 \end{array}]$

Paso 6

Multiplica $- \frac{1}{4}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \cdot - 1 & - \frac{1}{4} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Paso 7

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 7.1

Multiplica $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

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Paso 7.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 (\frac{1}{4}) & - \frac{1}{4} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Paso 7.1.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Paso 7.2

Multiplica $- \frac{1}{4} \cdot - 3$ .

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Paso 7.2.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & 3 (\frac{1}{4}) \\ - \frac{1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Paso 7.2.2

Combina $3$ y $\frac{1}{4}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ - \frac{1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{4}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- 1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Paso 7.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- 1}{2 (2)} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Paso 7.3.3

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Paso 7.3.4

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Paso 7.3.5

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- 1}{2} \cdot - 1 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Paso 7.4

Combina $\frac{- 1}{2}$ y $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- - 1}{2} & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Paso 7.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Paso 7.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{4}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Paso 7.6.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2 (2)} \cdot - 2 \end{array}]$

Paso 7.6.3

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) \end{array}]$

Paso 7.6.4

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) \end{array}]$

Paso 7.6.5

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot - 1 \end{array}]$

Paso 7.7

Combina $\frac{- 1}{2}$ y $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- - 1}{2} \end{array}]$

Paso 7.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$