Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ z y & x z & x y \end{array}]$

Paso 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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Paso 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x z & x y \end{array} |$

Paso 1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- x | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x z & x y \end{array} |$

Paso 1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x y \end{array} |$

Paso 1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$y | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x y \end{array} |$

Paso 1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

Paso 1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$- z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

Paso 1.9

Add the terms together.

$- x | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x z & x y \end{array} | + y | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x y \end{array} | - z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

Paso 2

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x z & x y \end{array} |$ .

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- x (1 (x y) - x z \cdot 1) + y | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x y \end{array} | - z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Multiplica $x y$ por $1$ .

$- x (x y - x z \cdot 1) + y | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x y \end{array} | - z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

Paso 2.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- x (x y - x z) + y | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x y \end{array} | - z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x y \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- x (x y - x z) + y (1 (x y) - z y \cdot 1) - z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Multiplica $x y$ por $1$ .

$- x (x y - x z) + y (x y - z y \cdot 1) - z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

Paso 3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- x (x y - x z) + y (x y - z y) - z | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ z y & x z \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- x (x y - x z) + y (x y - z y) - z (1 (x z) - z y \cdot 1)$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Multiplica $x z$ por $1$ .

$- x (x y - x z) + y (x y - z y) - z (x z - z y \cdot 1)$

Paso 4.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- x (x y - x z) + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x (x y) - x (- x z) + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

Paso 5.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1

Mueve $x$ .

$- (x \cdot x) y - x (- x z) + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

Paso 5.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- x^{2} y - x (- x z) + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

Paso 5.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1

Mueve $x$ .

$- x^{2} y - (x \cdot x) (- 1 z) + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

Paso 5.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- x^{2} y - x^{2} (- 1 z) + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- x^{2} y - 1 \cdot - 1 x^{2} z + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

Paso 5.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- x^{2} y + 1 x^{2} z + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

Paso 5.4.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y (x y - z y) - z (x z - z y)$

Paso 5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{2} y + x^{2} z + y (x y) + y (- z y) - z (x z - z y)$

Paso 5.6

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.1

Mueve $y$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y \cdot y x + y (- z y) - z (x z - z y)$

Paso 5.6.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x + y (- z y) - z (x z - z y)$

Paso 5.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y (z y) - z (x z - z y)$

Paso 5.8

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.8.1

Mueve $y$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - (y \cdot y) z - z (x z - z y)$

Paso 5.8.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z (x z - z y)$

Paso 5.9

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z (x z) - z (- z y)$

Paso 5.10

Multiplica $z$ por $z$ sumando los exponentes.

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Paso 5.10.1

Mueve $z$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - (z \cdot z) x - z (- z y)$

Paso 5.10.2

Multiplica $z$ por $z$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z^{2} x - z (- z y)$

Paso 5.11

Multiplica $z$ por $z$ sumando los exponentes.

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Paso 5.11.1

Mueve $z$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z^{2} x - (z \cdot z) (- 1 y)$

Paso 5.11.2

Multiplica $z$ por $z$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z^{2} x - z^{2} (- 1 y)$

Paso 5.12

Simplifica cada término.

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Paso 5.12.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z^{2} x - 1 \cdot - 1 z^{2} y$

Paso 5.12.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z^{2} x + 1 z^{2} y$

Paso 5.12.3

Multiplica $z^{2}$ por $1$ .

$- x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x - y^{2} z - z^{2} x + z^{2} y$