Matemática discreta Ejemplos

$5 [\begin{array}{c} 8 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{array}]$

Paso 1

Multiplica $5$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 5 \cdot 8 & 5 \cdot 3 & 5 \cdot 1 \\ 5 \cdot 2 & 5 \cdot 4 & 5 \cdot 3 \\ 5 \cdot 3 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 4 \end{array}]$

Paso 2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 2.1

Multiplica $5$ por $8$ .

$[\begin{array}{c} 40 & 5 \cdot 3 & 5 \cdot 1 \\ 5 \cdot 2 & 5 \cdot 4 & 5 \cdot 3 \\ 5 \cdot 3 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 4 \end{array}]$

Paso 2.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$[\begin{array}{c} 40 & 15 & 5 \cdot 1 \\ 5 \cdot 2 & 5 \cdot 4 & 5 \cdot 3 \\ 5 \cdot 3 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 4 \end{array}]$

Paso 2.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 40 & 15 & 5 \\ 5 \cdot 2 & 5 \cdot 4 & 5 \cdot 3 \\ 5 \cdot 3 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 4 \end{array}]$

Paso 2.4

Multiplica $5$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} 40 & 15 & 5 \\ 10 & 5 \cdot 4 & 5 \cdot 3 \\ 5 \cdot 3 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 4 \end{array}]$

Paso 2.5

Multiplica $5$ por $4$ .

$[\begin{array}{c} 40 & 15 & 5 \\ 10 & 20 & 5 \cdot 3 \\ 5 \cdot 3 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 4 \end{array}]$

Paso 2.6

Multiplica $5$ por $3$ .

$[\begin{array}{c} 40 & 15 & 5 \\ 10 & 20 & 15 \\ 5 \cdot 3 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 4 \end{array}]$

Paso 2.7

Multiplica $5$ por $3$ .

$[\begin{array}{c} 40 & 15 & 5 \\ 10 & 20 & 15 \\ 15 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 4 \end{array}]$

Paso 2.8

Multiplica $5$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} 40 & 15 & 5 \\ 10 & 20 & 15 \\ 15 & 10 & 5 \cdot 4 \end{array}]$

Paso 2.9

Multiplica $5$ por $4$ .

$[\begin{array}{c} 40 & 15 & 5 \\ 10 & 20 & 15 \\ 15 & 10 & 20 \end{array}]$

Paso 3

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 3.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 3.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 3.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 20 & 15 \\ 10 & 20 \end{array} |$

Paso 3.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$40 | \begin{array}{c} 20 & 15 \\ 10 & 20 \end{array} |$

Paso 3.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 & 15 \\ 15 & 20 \end{array} |$

Paso 3.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 15 | \begin{array}{c} 10 & 15 \\ 15 & 20 \end{array} |$

Paso 3.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 & 20 \\ 15 & 10 \end{array} |$

Paso 3.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$5 | \begin{array}{c} 10 & 20 \\ 15 & 10 \end{array} |$

Paso 3.9

Add the terms together.

$40 | \begin{array}{c} 20 & 15 \\ 10 & 20 \end{array} | - 15 | \begin{array}{c} 10 & 15 \\ 15 & 20 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 10 & 20 \\ 15 & 10 \end{array} |$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} 20 & 15 \\ 10 & 20 \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$40 (20 \cdot 20 - 10 \cdot 15) - 15 | \begin{array}{c} 10 & 15 \\ 15 & 20 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 10 & 20 \\ 15 & 10 \end{array} |$

Paso 4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $20$ por $20$ .

$40 (400 - 10 \cdot 15) - 15 | \begin{array}{c} 10 & 15 \\ 15 & 20 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 10 & 20 \\ 15 & 10 \end{array} |$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 10$ por $15$ .

$40 (400 - 150) - 15 | \begin{array}{c} 10 & 15 \\ 15 & 20 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 10 & 20 \\ 15 & 10 \end{array} |$

Paso 4.2.2

Resta $150$ de $400$ .

$40 \cdot 250 - 15 | \begin{array}{c} 10 & 15 \\ 15 & 20 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 10 & 20 \\ 15 & 10 \end{array} |$

Paso 5

Evalúa $| \begin{array}{c} 10 & 15 \\ 15 & 20 \end{array} |$ .

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Paso 5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$40 \cdot 250 - 15 (10 \cdot 20 - 15 \cdot 15) + 5 | \begin{array}{c} 10 & 20 \\ 15 & 10 \end{array} |$

Paso 5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $10$ por $20$ .

$40 \cdot 250 - 15 (200 - 15 \cdot 15) + 5 | \begin{array}{c} 10 & 20 \\ 15 & 10 \end{array} |$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 15$ por $15$ .

$40 \cdot 250 - 15 (200 - 225) + 5 | \begin{array}{c} 10 & 20 \\ 15 & 10 \end{array} |$

Paso 5.2.2

Resta $225$ de $200$ .

$40 \cdot 250 - 15 \cdot - 25 + 5 | \begin{array}{c} 10 & 20 \\ 15 & 10 \end{array} |$

Paso 6

Evalúa $| \begin{array}{c} 10 & 20 \\ 15 & 10 \end{array} |$ .

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Paso 6.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$40 \cdot 250 - 15 \cdot - 25 + 5 (10 \cdot 10 - 15 \cdot 20)$

Paso 6.2

Simplifica el determinante.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $10$ por $10$ .

$40 \cdot 250 - 15 \cdot - 25 + 5 (100 - 15 \cdot 20)$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 15$ por $20$ .

$40 \cdot 250 - 15 \cdot - 25 + 5 (100 - 300)$

Paso 6.2.2

Resta $300$ de $100$ .

$40 \cdot 250 - 15 \cdot - 25 + 5 \cdot - 200$

Paso 7

Simplifica el determinante.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Multiplica $40$ por $250$ .

$10000 - 15 \cdot - 25 + 5 \cdot - 200$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 15$ por $- 25$ .

$10000 + 375 + 5 \cdot - 200$

Paso 7.1.3

Multiplica $5$ por $- 200$ .

$10000 + 375 - 1000$

Paso 7.2

Suma $10000$ y $375$ .

$10375 - 1000$

Paso 7.3

Resta $1000$ de $10375$ .

$9375$