Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}]$

Paso 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} e & f \\ h & i \end{array} |$

Paso 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a | \begin{array}{c} e & f \\ h & i \end{array} |$

Paso 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} d & f \\ g & i \end{array} |$

Paso 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- b | \begin{array}{c} d & f \\ g & i \end{array} |$

Paso 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} d & e \\ g & h \end{array} |$

Paso 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$c | \begin{array}{c} d & e \\ g & h \end{array} |$

Paso 1.9

Add the terms together.

$a | \begin{array}{c} e & f \\ h & i \end{array} | - b | \begin{array}{c} d & f \\ g & i \end{array} | + c | \begin{array}{c} d & e \\ g & h \end{array} |$

Paso 2

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (e i - h f) - b | \begin{array}{c} d & f \\ g & i \end{array} | + c | \begin{array}{c} d & e \\ g & h \end{array} |$

Paso 3

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (e i - h f) - b (d i - g f) + c | \begin{array}{c} d & e \\ g & h \end{array} |$

Paso 4

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (e i - h f) - b (d i - g f) + c (d h - g e)$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a (e i) + a (- h f) - b (d i - g f) + c (d h - g e)$

Paso 5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a e i - a h f - b (d i - g f) + c (d h - g e)$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$a e i - a h f - b (d i) - b (- g f) + c (d h - g e)$

Paso 5.4

Multiplica $- b (- g f)$ .

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Paso 5.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$a e i - a h f - b d i + 1 b (g f) + c (d h - g e)$

Paso 5.4.2

Multiplica $b$ por $1$ .

$a e i - a h f - b d i + b (g f) + c (d h - g e)$

Paso 5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$a e i - a h f - b d i + b g f + c (d h) + c (- g e)$

Paso 5.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a e i - a h f - b d i + b g f + c d h - e c g$