Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + 6$

Paso 1

Adding $6$ to a $2 \times 2$ square matrix is the same as adding $6$ times the $2 \times 2$ identity matrix.

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 2

Multiplica $6$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 \cdot 1 & 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 3.1

Multiplica $6$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2

Multiplica $6$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.3

Multiplica $6$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{array}]$

Paso 4

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 5 + 6 & 9 + 0 \\ 2 + 0 & 3 + 6 \end{array}]$

Paso 5

Simplify each element.

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Paso 5.1

Suma $5$ y $6$ .

$[\begin{array}{c} 11 & 9 + 0 \\ 2 + 0 & 3 + 6 \end{array}]$

Paso 5.2

Suma $9$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & 9 \\ 2 + 0 & 3 + 6 \end{array}]$

Paso 5.3

Suma $2$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & 9 \\ 2 & 3 + 6 \end{array}]$

Paso 5.4

Suma $3$ y $6$ .

$[\begin{array}{c} 11 & 9 \\ 2 & 9 \end{array}]$

Paso 6

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 7

Find the determinant.

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Paso 7.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$11 \cdot 9 - 2 \cdot 9$

Paso 7.2

Simplifica el determinante.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $11$ por $9$ .

$99 - 2 \cdot 9$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $9$ .

$99 - 18$

Paso 7.2.2

Resta $18$ de $99$ .

$81$

Paso 8

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 9

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{81} [\begin{array}{c} 9 & - 9 \\ - 2 & 11 \end{array}]$

Paso 10

Multiplica $\frac{1}{81}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{81} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 11.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 11.1.1

Factoriza $9$ de $81$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9 (9)} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.1.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9 \cdot 9} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.1.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.2

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 11.2.1

Factoriza $9$ de $81$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9 (9)} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.2.2

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot - 1) \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.2.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot - 1) \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.2.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \cdot - 1 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.3

Combina $\frac{1}{9}$ y $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{- 1}{9} \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.5

Combina $\frac{1}{81}$ y $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ \frac{- 2}{81} & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ - \frac{2}{81} & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Paso 11.7

Combina $\frac{1}{81}$ y $11$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ - \frac{2}{81} & \frac{11}{81} \end{array}]$