Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} - 6 & 4 \\ 10 & - 5 \end{array}]$

Paso 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 2

Find the determinant.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 6 \cdot - 5 - 10 \cdot 4$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $- 6$ por $- 5$ .

$30 - 10 \cdot 4$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 10$ por $4$ .

$30 - 40$

Paso 2.2.2

Resta $40$ de $30$ .

$- 10$

Paso 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 10} [\begin{array}{c} - 5 & - 4 \\ - 10 & - 6 \end{array}]$

Paso 5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{10} [\begin{array}{c} - 5 & - 4 \\ - 10 & - 6 \end{array}]$

Paso 6

Multiplica $- \frac{1}{10}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{10} \cdot - 5 & - \frac{1}{10} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 7.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{10}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{10} \cdot - 5 & - \frac{1}{10} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7.1.2

Factoriza $5$ de $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 (2)} \cdot - 5 & - \frac{1}{10} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7.1.3

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot - 1) & - \frac{1}{10} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7.1.4

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot - 1) & - \frac{1}{10} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7.1.5

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot - 1 & - \frac{1}{10} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7.2

Combina $\frac{- 1}{2}$ y $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 1}{2} & - \frac{1}{10} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{10}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{- 1}{10} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7.4.2

Factoriza $2$ de $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2 (5)} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7.4.3

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 2) \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7.4.4

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 2) \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7.4.5

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{- 1}{5} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7.5

Combina $\frac{- 1}{5}$ y $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{- - 2}{5} \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7.6

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7.7

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 7.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{10}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7.7.2

Factoriza $10$ de $- 10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 1}{10} \cdot (10 (- 1)) & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7.7.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 1}{10} \cdot (10 \cdot - 1) & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7.7.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ - 1 \cdot - 1 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ 1 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.9.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{10}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ 1 & \frac{- 1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7.9.2

Factoriza $2$ de $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ 1 & \frac{- 1}{2 (5)} \cdot - 6 \end{array}]$

Paso 7.9.3

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ 1 & \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 3) \end{array}]$

Paso 7.9.4

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ 1 & \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 3) \end{array}]$

Paso 7.9.5

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ 1 & \frac{- 1}{5} \cdot - 3 \end{array}]$

Paso 7.10

Combina $\frac{- 1}{5}$ y $- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ 1 & \frac{- - 3}{5} \end{array}]$

Paso 7.11

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ 1 & \frac{3}{5} \end{array}]$