Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $3$ es la matriz cuadrada $3 \times 3$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

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Paso 3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] - λ I_{3})$

Paso 3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.6.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.7.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 + 0 & 36 + 0 \\ 27 + 0 & - 3 - λ & 21 + 0 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 + 0 \\ 27 + 0 & - 3 - λ & 21 + 0 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma $36$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 + 0 & - 3 - λ & 21 + 0 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.3

Suma $27$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 & - 3 - λ & 21 + 0 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.4

Suma $21$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 & - 3 - λ & 21 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.5

Suma $- 26$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 & - 3 - λ & 21 \\ - 26 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.6

Suma $10$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 & - 3 - λ & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 - λ & 21 \\ 10 & - 6 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(28 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & 21 \\ 10 & - 6 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (28 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & 21 \\ 10 & - 6 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.2

Evalúa $| \begin{array}{c} - 3 - λ & 21 \\ 10 & - 6 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (28 - λ) ((- 3 - λ) (- 6 - λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Expande $(- 3 - λ) (- 6 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (28 - λ) (- 3 (- 6 - λ) - λ (- 6 - λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (28 - λ) (- 3 \cdot - 6 - 3 (- λ) - λ (- 6 - λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (28 - λ) (- 3 \cdot - 6 - 3 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $- 6$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 - 3 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.3

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ - λ (- λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ + 1 λ^{2} - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ + λ^{2} - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.2

Suma $3 λ$ y $6 λ$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 9 λ + λ^{2} - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.3

Multiplica $- 10$ por $21$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 9 λ + λ^{2} - 210) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2

Resta $210$ de $18$ .

$p (λ) = (28 - λ) (9 λ + λ^{2} - 192) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.2.2.3

Reordena $9 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (27 (- 6 - λ) - (- 26 \cdot 21)) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (27 \cdot - 6 + 27 (- λ) - (- 26 \cdot 21)) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica $27$ por $- 6$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 162 + 27 (- λ) - (- 26 \cdot 21)) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $27$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 162 - 27 λ - (- 26 \cdot 21)) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.3.2.1.4

Multiplica $- (- 26 \cdot 21)$ .

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Paso 5.3.2.1.4.1

Multiplica $- 26$ por $21$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 162 - 27 λ - - 546) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.3.2.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 546$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 162 - 27 λ + 546) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.3.2.2

Suma $- 162$ y $546$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Paso 5.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$ .

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Paso 5.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (27 \cdot 10 - (- 26 (- 3 - λ)))$

Paso 5.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Multiplica $27$ por $10$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - (- 26 (- 3 - λ)))$

Paso 5.4.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - (- 26 \cdot - 3 - 26 (- λ)))$

Paso 5.4.2.1.3

Multiplica $- 26$ por $- 3$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - (78 - 26 (- λ)))$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 26$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - (78 + 26 λ))$

Paso 5.4.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - 1 \cdot 78 - (26 λ))$

Paso 5.4.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $78$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - 78 - (26 λ))$

Paso 5.4.2.1.7

Multiplica $26$ por $- 1$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - 78 - 26 λ)$

Paso 5.4.2.2

Resta $78$ de $270$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (192 - 26 λ)$

Paso 5.4.2.3

Reordena $192$ y $- 26 λ$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Paso 5.5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1.1

Expande $(28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$p (λ) = 28 λ^{2} + 28 (9 λ) + 28 \cdot - 192 - λ \cdot λ^{2} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Paso 5.5.1.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1.2.1

Multiplica $9$ por $28$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ + 28 \cdot - 192 - λ \cdot λ^{2} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Paso 5.5.1.2.2

Multiplica $28$ por $- 192$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ \cdot λ^{2} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Paso 5.5.1.2.3

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.1.2.3.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - (λ^{2} λ) - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Paso 5.5.1.2.3.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 5.5.1.2.3.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Paso 5.5.1.2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{2 + 1} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Paso 5.5.1.2.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Paso 5.5.1.2.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 1 \cdot 9 λ \cdot λ - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Paso 5.5.1.2.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.1.2.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 1 \cdot 9 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Paso 5.5.1.2.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 1 \cdot 9 λ^{2} - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Paso 5.5.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 9 λ^{2} - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Paso 5.5.1.2.7

Multiplica $- 192$ por $- 1$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 9 λ^{2} + 192 λ - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Paso 5.5.1.3

Resta $9 λ^{2}$ de $28 λ^{2}$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} + 192 λ - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Paso 5.5.1.4

Suma $252 λ$ y $192 λ$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Paso 5.5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} - 4 (- 27 λ) - 4 \cdot 384 + 36 (- 26 λ + 192)$

Paso 5.5.1.6

Multiplica $- 27$ por $- 4$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 4 \cdot 384 + 36 (- 26 λ + 192)$

Paso 5.5.1.7

Multiplica $- 4$ por $384$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 1536 + 36 (- 26 λ + 192)$

Paso 5.5.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 1536 + 36 (- 26 λ) + 36 \cdot 192$

Paso 5.5.1.9

Multiplica $- 26$ por $36$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 1536 - 936 λ + 36 \cdot 192$

Paso 5.5.1.10

Multiplica $36$ por $192$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 1536 - 936 λ + 6912$

Paso 5.5.2

Suma $444 λ$ y $108 λ$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 552 λ - 5376 - λ^{3} - 1536 - 936 λ + 6912$

Paso 5.5.3

Resta $936 λ$ de $552 λ$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - 384 λ - 5376 - λ^{3} - 1536 + 6912$

Paso 5.5.4

Resta $1536$ de $- 5376$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3} - 6912 + 6912$

Paso 5.5.5

Combina los términos opuestos en $19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3} - 6912 + 6912$ .

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Paso 5.5.5.1

Suma $- 6912$ y $6912$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3} + 0$

Paso 5.5.5.2

Suma $19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3}$ y $0$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3}$

Paso 5.5.6

Mueve $- 384 λ$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - λ^{3} - 384 λ$

Paso 5.5.7

Reordena $19 λ^{2}$ y $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 19 λ^{2} - 384 λ$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$- λ^{3} + 19 λ^{2} - 384 λ = 0$

Paso 7

Resuelve $λ$

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Paso 7.1

Factoriza $- λ$ de $- λ^{3} + 19 λ^{2} - 384 λ$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $- λ$ de $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} + 19 λ^{2} - 384 λ = 0$

Paso 7.1.2

Factoriza $- λ$ de $19 λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 19 λ) - 384 λ = 0$

Paso 7.1.3

Factoriza $- λ$ de $- 384 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 19 λ) - λ \cdot 384 = 0$

Paso 7.1.4

Factoriza $- λ$ de $- λ (λ^{2}) - λ (- 19 λ)$ .

$- λ (λ^{2} - 19 λ) - λ \cdot 384 = 0$

Paso 7.1.5

Factoriza $- λ$ de $- λ (λ^{2} - 19 λ) - λ (384)$ .

$- λ (λ^{2} - 19 λ + 384) = 0$

Paso 7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$λ = 0$

$λ^{2} - 19 λ + 384 = 0$

Paso 7.3

Establece $λ$ igual a $0$ .

$λ = 0$

Paso 7.4

Establece $λ^{2} - 19 λ + 384$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 7.4.1

Establece $λ^{2} - 19 λ + 384$ igual a $0$ .

$λ^{2} - 19 λ + 384 = 0$

Paso 7.4.2

Resuelve $λ^{2} - 19 λ + 384 = 0$ en $λ$ .

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Paso 7.4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 19$ y $c = 384$ en la fórmula cuadrática y resuelve $λ$ .

$\frac{19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 384)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3

Simplifica.

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Paso 7.4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.2.3.1.1

Eleva $- 19$ a la potencia de $2$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 384}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 384$ .

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Paso 7.4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 384}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $384$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 1536}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.3

Resta $1536$ de $361$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{- 1175}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.4

Reescribe $- 1175$ como $- 1 (1175)$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1175}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (1175)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1175}$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1175}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$λ = \frac{19 \pm i \cdot \sqrt{1175}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.7

Reescribe $1175$ como $5^{2} \cdot 47$ .

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Paso 7.4.2.3.1.7.1

Factoriza $25$ de $1175$ .

$λ = \frac{19 \pm i \cdot \sqrt{25 (47)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.7.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$λ = \frac{19 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 47}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$λ = \frac{19 \pm i \cdot (5 \sqrt{47})}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.9

Mueve $5$ a la izquierda de $i$ .

$λ = \frac{19 \pm 5 i \sqrt{47}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$λ = \frac{19 \pm 5 i \sqrt{47}}{2}$

Paso 7.4.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$λ = \frac{19 + 5 i \sqrt{47}}{2}, \frac{19 - 5 i \sqrt{47}}{2}$

Paso 7.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $- λ (λ^{2} - 19 λ + 384) = 0$ verdadera.

$λ = 0, \frac{19 + 5 i \sqrt{47}}{2}, \frac{19 - 5 i \sqrt{47}}{2}$