Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $2$ es la matriz cuadrada $2 \times 2$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Paso 3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ I_{2})$

Paso 3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 + 0 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma $2$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 - λ) - 2 \cdot 1$

Paso 5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Expande $(1 - λ) (- 1 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 1$

Paso 5.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 1$

Paso 5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.2

Multiplica $- λ$ por $1$ .

$p (λ) = - 1 - λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.3

Multiplica $- λ \cdot - 1$ .

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Paso 5.2.1.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 1 - λ + 1 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.3.2

Multiplica $λ$ por $1$ .

$p (λ) = - 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 1 - λ + λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = - 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.2

Suma $- λ$ y $λ$ .

$p (λ) = - 1 + 0 + λ^{2} - 2 \cdot 1$

Paso 5.2.1.2.3

Suma $- 1$ y $0$ .

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2 \cdot 1$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2$

Paso 5.2.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 3$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$λ^{2} - 3 = 0$

Paso 7

Resuelve $λ$

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Paso 7.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$λ^{2} = 3$

Paso 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{3}$

Paso 7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$λ = \sqrt{3}$

Paso 7.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$λ = - \sqrt{3}$

Paso 7.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$λ = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$λ = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Forma decimal:

$λ = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots$