Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $3$ es la matriz cuadrada $3 \times 3$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

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Paso 3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Paso 3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.6.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.7.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ \frac{3}{2} + 0 & 0 - λ & - 2 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & 1 & 0 + 0 \\ \frac{3}{2} + 0 & 0 - λ & - 2 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} + 0 & 0 - λ & - 2 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.3

Suma $\frac{3}{2}$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 - λ & - 2 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.4

Resta $λ$ de $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & - λ & - 2 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.5

Suma $- 2$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & - λ & - 2 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.6

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & - λ & - 2 \\ 1 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.7

Suma $2$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & - λ & - 2 \\ 1 & 2 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & - 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(9 - λ) | \begin{array}{c} - λ & - 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Paso 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Paso 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (9 - λ) | \begin{array}{c} - λ & - 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Paso 5.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

$p (λ) = (9 - λ) | \begin{array}{c} - λ & - 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3

Evalúa $| \begin{array}{c} - λ & - 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- λ (4 - λ) - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (9 - λ) (- λ \cdot 4 - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- 4 λ - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = (9 - λ) (- 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.4.1

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.2.1.4.1.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.1.4.1.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- 4 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.1.4.3

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- 4 λ + λ^{2} - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- 4 λ + λ^{2} + 4) - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.3.2.2

Reordena $- 4 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4

Evalúa $| \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (\frac{3}{2} (4 - λ) - 1 \cdot - 2) + 0$

Paso 5.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (\frac{3}{2} \cdot 4 + \frac{3}{2} (- λ) - 1 \cdot - 2) + 0$

Paso 5.4.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (\frac{3}{2} \cdot (2 (2)) + \frac{3}{2} (- λ) - 1 \cdot - 2) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot 2) + \frac{3}{2} (- λ) - 1 \cdot - 2) + 0$

Paso 5.4.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (3 \cdot 2 + \frac{3}{2} (- λ) - 1 \cdot - 2) + 0$

Paso 5.4.2.1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (6 + \frac{3}{2} (- λ) - 1 \cdot - 2) + 0$

Paso 5.4.2.1.4

Combina $\frac{3}{2}$ y $λ$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (6 - \frac{3 λ}{2} - 1 \cdot - 2) + 0$

Paso 5.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (6 - \frac{3 λ}{2} + 2) + 0$

Paso 5.4.2.2

Suma $6$ y $2$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8) + 0$

Paso 5.5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.5.1

Suma $(9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$ y $0$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Paso 5.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.2.1

Expande $(9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$p (λ) = 9 λ^{2} + 9 (- 4 λ) + 9 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Paso 5.5.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.2.2.1

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 9 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Paso 5.5.2.2.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Paso 5.5.2.2.3

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.2.2.3.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 36 - (λ^{2} λ) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Paso 5.5.2.2.3.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 5.5.2.2.3.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 36 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Paso 5.5.2.2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ^{2 + 1} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Paso 5.5.2.2.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ^{3} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Paso 5.5.2.2.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Paso 5.5.2.2.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.2.2.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Paso 5.5.2.2.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ^{2} - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Paso 5.5.2.2.6

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ^{3} + 4 λ^{2} - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Paso 5.5.2.2.7

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Paso 5.5.2.3

Suma $9 λ^{2}$ y $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ^{3} - 4 λ - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Paso 5.5.2.4

Resta $4 λ$ de $- 36 λ$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} - 40 λ + 36 - λ^{3} - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Paso 5.5.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 13 λ^{2} - 40 λ + 36 - λ^{3} - 1 (- \frac{3 λ}{2}) - 1 \cdot 8$

Paso 5.5.2.6

Multiplica $- 1 (- \frac{3 λ}{2})$ .

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Paso 5.5.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} - 40 λ + 36 - λ^{3} + 1 \frac{3 λ}{2} - 1 \cdot 8$

Paso 5.5.2.6.2

Multiplica $\frac{3 λ}{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} - 40 λ + 36 - λ^{3} + \frac{3 λ}{2} - 1 \cdot 8$

Paso 5.5.2.7

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} - 40 λ + 36 - λ^{3} + \frac{3 λ}{2} - 8$

Paso 5.5.3

Para escribir $- 40 λ$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 36 - λ^{3} - 40 λ \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 λ}{2} - 8$

Paso 5.5.4

Combina $- 40 λ$ y $\frac{2}{2}$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 36 - λ^{3} + \frac{- 40 λ \cdot 2}{2} + \frac{3 λ}{2} - 8$

Paso 5.5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$p (λ) = 13 λ^{2} + 36 - λ^{3} + \frac{- 40 λ \cdot 2 + 3 λ}{2} - 8$

Paso 5.5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.6.1.1

Factoriza $λ$ de $- 40 λ \cdot 2 + 3 λ$ .

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Paso 5.5.6.1.1.1

Factoriza $λ$ de $- 40 λ \cdot 2$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 36 - λ^{3} + \frac{λ (- 40 \cdot 2) + 3 λ}{2} - 8$

Paso 5.5.6.1.1.2

Factoriza $λ$ de $3 λ$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 36 - λ^{3} + \frac{λ (- 40 \cdot 2) + λ \cdot 3}{2} - 8$

Paso 5.5.6.1.1.3

Factoriza $λ$ de $λ (- 40 \cdot 2) + λ \cdot 3$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 36 - λ^{3} + \frac{λ (- 40 \cdot 2 + 3)}{2} - 8$

Paso 5.5.6.1.2

Multiplica $- 40$ por $2$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 36 - λ^{3} + \frac{λ (- 80 + 3)}{2} - 8$

Paso 5.5.6.1.3

Suma $- 80$ y $3$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 36 - λ^{3} + \frac{λ \cdot - 77}{2} - 8$

Paso 5.5.6.2

Mueve $- 77$ a la izquierda de $λ$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 36 - λ^{3} + \frac{- 77 \cdot λ}{2} - 8$

Paso 5.5.6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$p (λ) = 13 λ^{2} + 36 - λ^{3} - \frac{77 λ}{2} - 8$

Paso 5.5.7

Resta $8$ de $36$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} - λ^{3} - \frac{77 λ}{2} + 28$

Paso 5.5.8

Reordena $13 λ^{2}$ y $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 13 λ^{2} - \frac{77 λ}{2} + 28$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$- λ^{3} + 13 λ^{2} - \frac{77 λ}{2} + 28 = 0$

Paso 7

Resuelve $λ$

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Paso 7.1

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$λ \approx 1.10363103, 2.78431018, 9.11205878$