Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $3$ es la matriz cuadrada $3 \times 3$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

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Paso 3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] - λ I_{3})$

Paso 3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.6.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.7.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 + 0 & 24 + 0 \\ 15 + 0 & 58 - λ & 91 + 0 \\ 12 + 0 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Suma $22$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 + 0 \\ 15 + 0 & 58 - λ & 91 + 0 \\ 12 + 0 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma $24$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 \\ 15 + 0 & 58 - λ & 91 + 0 \\ 12 + 0 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.3

Suma $15$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 \\ 15 & 58 - λ & 91 + 0 \\ 12 + 0 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.4

Suma $91$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 \\ 15 & 58 - λ & 91 \\ 12 + 0 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.5

Suma $12$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 \\ 15 & 58 - λ & 91 \\ 12 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.6

Suma $38$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 \\ 15 & 58 - λ & 91 \\ 12 & 38 & 27 - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 58 - λ & 91 \\ 38 & 27 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(42 - λ) | \begin{array}{c} 58 - λ & 91 \\ 38 & 27 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (42 - λ) | \begin{array}{c} 58 - λ & 91 \\ 38 & 27 - λ \end{array} | - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.2

Evalúa $| \begin{array}{c} 58 - λ & 91 \\ 38 & 27 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (42 - λ) ((58 - λ) (27 - λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Expande $(58 - λ) (27 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (42 - λ) (58 (27 - λ) - λ (27 - λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (42 - λ) (58 \cdot 27 + 58 (- λ) - λ (27 - λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (42 - λ) (58 \cdot 27 + 58 (- λ) - λ \cdot 27 - λ (- λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.2.1.1

Multiplica $58$ por $27$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 + 58 (- λ) - λ \cdot 27 - λ (- λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $58$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - λ \cdot 27 - λ (- λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.3

Multiplica $27$ por $- 1$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ - λ (- λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ + 1 λ^{2} - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ + λ^{2} - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.2

Resta $27 λ$ de $- 58 λ$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 85 λ + λ^{2} - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.3

Multiplica $- 38$ por $91$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 85 λ + λ^{2} - 3458) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2

Resta $3458$ de $1566$ .

$p (λ) = (42 - λ) (- 85 λ + λ^{2} - 1892) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.2.2.3

Reordena $- 85 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (15 (27 - λ) - 12 \cdot 91) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (15 \cdot 27 + 15 (- λ) - 12 \cdot 91) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica $15$ por $27$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (405 + 15 (- λ) - 12 \cdot 91) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $15$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (405 - 15 λ - 12 \cdot 91) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.3.2.1.4

Multiplica $- 12$ por $91$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (405 - 15 λ - 1092) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.3.2.2

Resta $1092$ de $405$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Paso 5.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$ .

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Paso 5.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (15 \cdot 38 - 12 (58 - λ))$

Paso 5.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Multiplica $15$ por $38$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (570 - 12 (58 - λ))$

Paso 5.4.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (570 - 12 \cdot 58 - 12 (- λ))$

Paso 5.4.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $58$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (570 - 696 - 12 (- λ))$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (570 - 696 + 12 λ)$

Paso 5.4.2.2

Resta $696$ de $570$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (- 126 + 12 λ)$

Paso 5.4.2.3

Reordena $- 126$ y $12 λ$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Paso 5.5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1.1

Expande $(42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$p (λ) = 42 λ^{2} + 42 (- 85 λ) + 42 \cdot - 1892 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Paso 5.5.1.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1.2.1

Multiplica $- 85$ por $42$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ + 42 \cdot - 1892 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Paso 5.5.1.2.2

Multiplica $42$ por $- 1892$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Paso 5.5.1.2.3

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.1.2.3.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - (λ^{2} λ) - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Paso 5.5.1.2.3.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 5.5.1.2.3.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Paso 5.5.1.2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{2 + 1} - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Paso 5.5.1.2.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Paso 5.5.1.2.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} - 1 \cdot - 85 λ \cdot λ - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Paso 5.5.1.2.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.1.2.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} - 1 \cdot - 85 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Paso 5.5.1.2.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} - 1 \cdot - 85 λ^{2} - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Paso 5.5.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $- 85$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} + 85 λ^{2} - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Paso 5.5.1.2.7

Multiplica $- 1892$ por $- 1$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} + 85 λ^{2} + 1892 λ - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Paso 5.5.1.3

Suma $42 λ^{2}$ y $85 λ^{2}$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} + 1892 λ - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Paso 5.5.1.4

Suma $- 3570 λ$ y $1892 λ$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Paso 5.5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} - 22 (- 15 λ) - 22 \cdot - 687 + 24 (12 λ - 126)$

Paso 5.5.1.6

Multiplica $- 15$ por $- 22$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} + 330 λ - 22 \cdot - 687 + 24 (12 λ - 126)$

Paso 5.5.1.7

Multiplica $- 22$ por $- 687$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} + 330 λ + 15114 + 24 (12 λ - 126)$

Paso 5.5.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} + 330 λ + 15114 + 24 (12 λ) + 24 \cdot - 126$

Paso 5.5.1.9

Multiplica $12$ por $24$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} + 330 λ + 15114 + 288 λ + 24 \cdot - 126$

Paso 5.5.1.10

Multiplica $24$ por $- 126$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} + 330 λ + 15114 + 288 λ - 3024$

Paso 5.5.2

Suma $- 1678 λ$ y $330 λ$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1348 λ - 79464 - λ^{3} + 15114 + 288 λ - 3024$

Paso 5.5.3

Suma $- 1348 λ$ y $288 λ$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1060 λ - 79464 - λ^{3} + 15114 - 3024$

Paso 5.5.4

Suma $- 79464$ y $15114$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1060 λ - λ^{3} - 64350 - 3024$

Paso 5.5.5

Resta $3024$ de $- 64350$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1060 λ - λ^{3} - 67374$

Paso 5.5.6

Mueve $- 1060 λ$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - λ^{3} - 1060 λ - 67374$

Paso 5.5.7

Reordena $127 λ^{2}$ y $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 127 λ^{2} - 1060 λ - 67374$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$- λ^{3} + 127 λ^{2} - 1060 λ - 67374 = 0$

Paso 7

Resuelve $λ$

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Paso 7.1

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$λ \approx - 18.19789578, 32.99704063$