Matemática discreta Ejemplos

${}_{100}C_{18}$

Paso 1

Evalúa ${}_{100}C_{18}$ con la fórmula ${}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(n - r)! r!}$ .

$\frac{100!}{(100 - 18)! 18!}$

Paso 2

Resta $18$ de $100$ .

$\frac{100!}{(82)! 18!}$

Paso 3

Simplifica $\frac{100!}{(82)! 18!}$ .

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Paso 3.1

Reescribe $100!$ como $100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96 \cdot 95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82!$ .

$\frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96 \cdot 95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82!}{(82)! 18!}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $82!$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96 \cdot 95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82!}{(82)! 18!}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96 \cdot 95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Multiplica $100$ por $99$ .

$\frac{9900 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96 \cdot 95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Paso 3.3.2

Multiplica $9900$ por $98$ .

$\frac{970200 \cdot 97 \cdot 96 \cdot 95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Paso 3.3.3

Multiplica $970200$ por $97$ .

$\frac{94109400 \cdot 96 \cdot 95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Paso 3.3.4

Multiplica $94109400$ por $96$ .

$\frac{9034502400 \cdot 95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Paso 3.3.5

Multiplica $9034502400$ por $95$ .

$\frac{858277728000 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Paso 3.3.6

Multiplica $858277728000$ por $94$ .

$\frac{80678106432000 \cdot 93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Paso 3.3.7

Multiplica $80678106432000$ por $93$ .

$\frac{7503063898176000 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Paso 3.3.8

Multiplica $7503063898176000$ por $92$ .

$\frac{690281878632192000 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Paso 3.3.9

Multiplica $690281878632192000$ por $91$ .

$\frac{62815650955529472000 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Paso 3.3.10

Multiplica $62815650955529472000$ por $90$ .

$\frac{5653408585997652480000 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Paso 3.3.11

Multiplica $5653408585997652480000$ por $89$ .

$\frac{503153364153791070720000 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Paso 3.3.12

Multiplica $503153364153791070720000$ por $88$ .

$\frac{44277496045533614223360000 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Paso 3.3.13

Multiplica $44277496045533614223360000$ por $87$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Paso 3.3.14

Multiplica $85$ por $86$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 7310 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Paso 3.3.15

Multiplica $84$ por $7310$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 614040 \cdot 83}{18!}$

Paso 3.3.16

Multiplica $83$ por $614040$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{18!}$

Paso 3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 3.4.1

Expande $18!$ a $18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Multiplica $18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $18$ por $17$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{306 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $306$ por $16$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{4896 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.3

Multiplica $4896$ por $15$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{73440 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.4

Multiplica $73440$ por $14$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{1028160 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.5

Multiplica $1028160$ por $13$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{13366080 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.6

Multiplica $13366080$ por $12$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{160392960 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.7

Multiplica $160392960$ por $11$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{1764322560 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.8

Multiplica $1764322560$ por $10$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{17643225600 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.9

Multiplica $17643225600$ por $9$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{158789030400 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.10

Multiplica $158789030400$ por $8$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{1270312243200 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.11

Multiplica $1270312243200$ por $7$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{8892185702400 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.12

Multiplica $8892185702400$ por $6$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{53353114214400 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.13

Multiplica $53353114214400$ por $5$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{266765571072000 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.14

Multiplica $266765571072000$ por $4$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{1067062284288000 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.15

Multiplica $1067062284288000$ por $3$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{3201186852864000 \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.16

Multiplica $3201186852864000$ por $2$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{6402373705728000 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.17

Multiplica $6402373705728000$ por $1$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{6402373705728000}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $3852142155961424437432320000$ y $6402373705728000$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $62768369664000$ de $3852142155961424437432320000 \cdot 50965320$ .

$\frac{62768369664000 (61370753718505 \cdot 50965320)}{6402373705728000}$

Paso 3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $62768369664000$ de $6402373705728000$ .

$\frac{62768369664000 (61370753718505 \cdot 50965320)}{62768369664000 (102)}$

Paso 3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{62768369664000 (61370753718505 \cdot 50965320)}{62768369664000 \cdot 102}$

Paso 3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{61370753718505 \cdot 50965320}{102}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $50965320$ y $102$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $102$ de $61370753718505 \cdot 50965320$ .

$\frac{102 (61370753718505 \cdot 499660)}{102}$

Paso 3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.2.1

Factoriza $102$ de $102$ .

$\frac{102 (61370753718505 \cdot 499660)}{102 (1)}$

Paso 3.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{102 (61370753718505 \cdot 499660)}{102 \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{61370753718505 \cdot 499660}{1}$

Paso 3.6.2.4

Divide $61370753718505 \cdot 499660$ por $1$ .

$61370753718505 \cdot 499660$

Paso 3.7

Multiplica $61370753718505$ por $499660$ .

$30664510802988208300$