Matemática discreta Ejemplos

\begin{matrix} x & P (x) 1 & 0.29 2 & 0.45 3 & 0.12 4 & 0.14 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.29 \\ 2 & 0.45 \\ 3 & 0.12 \\ 4 & 0.14 \end{array}$

Paso 1

Demuestra que la tabla determinada cumple con las dos propiedades necesarias para una distribución de probabilidad.

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Paso 1.1

Una variable aleatoria discreta

x

$x$ toma un conjunto de valores separados (como

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). Su distribución de probabilidad asigna una probabilidad

P (x)

$P (x)$ a cada valor posible

x

$x$ . Para cada

x

$x$ , la probabilidad

P (x)

$P (x)$ cae entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive y la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de

x

$x$ es igual a

1

$1$ .

1. Para cada

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Paso 1.2

0.29

$0.29$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.29

$0.29$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.3

0.45

$0.45$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.45

$0.45$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.4

0.12

$0.12$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.12

$0.12$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.5

0.14

$0.14$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0.14

$0.14$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive

Paso 1.6

Para cada

x

$x$ , la probabilidad

P (x)

$P (x)$ está entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de x

Paso 1.7

Obtén la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de

x

$x$ .

0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14

$0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14$

Paso 1.8

La suma de las probabilidades para todos los posibles valores de

x

$x$ es

0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1

$0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1$ .

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Paso 1.8.1

Suma

0.29

$0.29$ y

0.45

$0.45$ .

0.74 + 0.12 + 0.14

$0.74 + 0.12 + 0.14$

Paso 1.8.2

Suma

0.74

$0.74$ y

0.12

$0.12$ .

0.86 + 0.14

$0.86 + 0.14$

Paso 1.8.3

Suma

0.86

$0.86$ y

0.14

$0.14$ .

1

$1$

1

$1$

Paso 1.9

Para cada

x

$x$ , la probabilidad de

P (x)

$P (x)$ se encuentra entre

0

$0$ y

1

$1$ inclusive. Además, la suma de las probabilidades para todos los posibles

x

$x$ es igual a

1

$1$ , lo que significa que la tabla satisface las dos propiedades de una distribución de probabilidad.

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de

x

$x$

Propiedad 2:

0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1

$0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1$

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de

x

$x$

Propiedad 2:

0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1

$0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1$

Paso 2

La expectativa media de una distribución es el valor esperado si los ensayos de la distribución podrían continuar indefinidamente. Esto es igual a cada valor multiplicado por su probabilidad discreta.

1 \cdot 0.29 + 2 \cdot 0.45 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14

$1 \cdot 0.29 + 2 \cdot 0.45 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Multiplica

0.29

$0.29$ por

1

$1$ .

0.29 + 2 \cdot 0.45 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14

$0.29 + 2 \cdot 0.45 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14$

Paso 3.2

Multiplica

2

$2$ por

0.45

$0.45$ .

0.29 + 0.9 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14

$0.29 + 0.9 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14$

Paso 3.3

Multiplica

3

$3$ por

0.12

$0.12$ .

0.29 + 0.9 + 0.36 + 4 \cdot 0.14

$0.29 + 0.9 + 0.36 + 4 \cdot 0.14$

Paso 3.4

Multiplica

4

$4$ por

0.14

$0.14$ .

0.29 + 0.9 + 0.36 + 0.56

$0.29 + 0.9 + 0.36 + 0.56$

0.29 + 0.9 + 0.36 + 0.56

$0.29 + 0.9 + 0.36 + 0.56$

Paso 4

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1

Suma

0.29

$0.29$ y

0.9

$0.9$ .

1.19 + 0.36 + 0.56

$1.19 + 0.36 + 0.56$

Paso 4.2

Suma

1.19

$1.19$ y

0.36

$0.36$ .

1.55 + 0.56

$1.55 + 0.56$

Paso 4.3

Suma

1.55

$1.55$ y

0.56

$0.56$ .

2.11

$2.11$

2.11

$2.11$

Paso 5

La desviación estándar de una distribución es una medida de la dispersión y es igual a la raíz cuadrada de la varianza.

s = \sqrt{\sum {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

Paso 6

Completa con los valores conocidos.

\sqrt{{(1 - (2.11))}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{{(1 - (2.11))}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

2.11

$2.11$ .

\sqrt{{(1 - 2.11)}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{{(1 - 2.11)}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Paso 7.2

Resta

2.11

$2.11$ de

1

$1$ .

\sqrt{{(- 1.11)}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{{(- 1.11)}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Paso 7.3

Eleva

$- 1.11$ a la potencia de

$2$ .

$\sqrt{1.2321 \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Paso 7.4

Multiplica

$1.2321$ por

$0.29$ .

$\sqrt{0.357309 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Paso 7.5

Multiplica

$- 1$ por

$2.11$ .

$\sqrt{0.357309 + {(2 - 2.11)}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Paso 7.6

Resta

$2.11$ de

$2$ .

$\sqrt{0.357309 + {(- 0.11)}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Paso 7.7

Eleva

$- 0.11$ a la potencia de

$2$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.0121 \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Paso 7.8

Multiplica

$0.0121$ por

$0.45$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Paso 7.9

Multiplica

$- 1$ por

$2.11$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + {(3 - 2.11)}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Paso 7.10

Resta

$2.11$ de

$3$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + {0.89}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Paso 7.11

Eleva

$0.89$ a la potencia de

$2$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.7921 \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Paso 7.12

Multiplica

$0.7921$ por

$0.12$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Paso 7.13

Multiplica

$- 1$ por

$2.11$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + {(4 - 2.11)}^{2} \cdot 0.14}$

Paso 7.14

Resta

$2.11$ de

$4$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + {1.89}^{2} \cdot 0.14}$

Paso 7.15

Eleva

$1.89$ a la potencia de

$2$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + 3.5721 \cdot 0.14}$

Paso 7.16

Multiplica

$3.5721$ por

$0.14$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + 0.500094}$

Paso 7.17

Suma

$0.357309$ y

$0.005445$ .

$\sqrt{0.362754 + 0.095052 + 0.500094}$

Paso 7.18

Suma

$0.362754$ y

$0.095052$ .

$\sqrt{0.457806 + 0.500094}$

Paso 7.19

Suma

$0.457806$ y

$0.500094$ .

$\sqrt{0.9579}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sqrt{0.9579}$

Forma decimal:

$0.97872365 \dots$