Matemática discreta Ejemplos

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 5 & 0.1 \\ 10 & 0.2 \\ 13 & 0.3 \\ 16 & 0.1 \\ 17 & 0.3 \end{array}$

Paso 1

Demuestra que la tabla determinada cumple con las dos propiedades necesarias para una distribución de probabilidad.

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Paso 1.1

Una variable aleatoria discreta $x$ toma un conjunto de valores separados (como $0$ , $1$ , $2$ ...). Su distribución de probabilidad asigna una probabilidad $P (x)$ a cada valor posible $x$ . Para cada $x$ , la probabilidad $P (x)$ cae entre $0$ y $1$ inclusive y la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de $x$ es igual a $1$ .

1. Para cada $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Paso 1.2

$0.1$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.1$ está entre $0$ y $1$ inclusive

Paso 1.3

$0.2$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.2$ está entre $0$ y $1$ inclusive

Paso 1.4

$0.3$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.3$ está entre $0$ y $1$ inclusive

Paso 1.5

$0.1$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.1$ está entre $0$ y $1$ inclusive

Paso 1.6

$0.3$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.3$ está entre $0$ y $1$ inclusive

Paso 1.7

Para cada $x$ , la probabilidad $P (x)$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de x

Paso 1.8

Obtén la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de $x$ .

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.3$

Paso 1.9

La suma de las probabilidades para todos los posibles valores de $x$ es $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.3 = 1$ .

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Paso 1.9.1

Suma $0.1$ y $0.2$ .

$0.3 + 0.3 + 0.1 + 0.3$

Paso 1.9.2

Suma $0.3$ y $0.3$ .

$0.6 + 0.1 + 0.3$

Paso 1.9.3

Suma $0.6$ y $0.1$ .

$0.7 + 0.3$

Paso 1.9.4

Suma $0.7$ y $0.3$ .

$1$

Paso 1.10

Para cada $x$ , la probabilidad de $P (x)$ se encuentra entre $0$ y $1$ inclusive. Además, la suma de las probabilidades para todos los posibles $x$ es igual a $1$ , lo que significa que la tabla satisface las dos propiedades de una distribución de probabilidad.

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de $x$

Propiedad 2: $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.3 = 1$

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de $x$

Propiedad 2: $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.3 = 1$

Paso 2

La expectativa media de una distribución es el valor esperado si los ensayos de la distribución podrían continuar indefinidamente. Esto es igual a cada valor multiplicado por su probabilidad discreta.

$u = 5 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.3$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Multiplica $5$ por $0.1$ .

$u = 0.5 + 10 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.3$

Paso 3.2

Multiplica $10$ por $0.2$ .

$u = 0.5 + 2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.3$

Paso 3.3

Multiplica $13$ por $0.3$ .

$u = 0.5 + 2 + 3.9 + 16 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.3$

Paso 3.4

Multiplica $16$ por $0.1$ .

$u = 0.5 + 2 + 3.9 + 1.6 + 17 \cdot 0.3$

Paso 3.5

Multiplica $17$ por $0.3$ .

$u = 0.5 + 2 + 3.9 + 1.6 + 5.1$

Paso 4

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1

Suma $0.5$ y $2$ .

$u = 2.5 + 3.9 + 1.6 + 5.1$

Paso 4.2

Suma $2.5$ y $3.9$ .

$u = 6.4 + 1.6 + 5.1$

Paso 4.3

Suma $6.4$ y $1.6$ .

$u = 8 + 5.1$

Paso 4.4

Suma $8$ y $5.1$ .

$u = 13.1$

Paso 5

La varianza de una distribución es una medida de la dispersión y es igual a la raíz cuadrada de la desviación estándar.

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Paso 6

Completa con los valores conocidos.

${(5 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (13.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Multiplica $- 1$ por $13.1$ .

${(5 - 13.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (13.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Paso 7.1.2

Resta $13.1$ de $5$ .

${(- 8.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (13.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Paso 7.1.3

Eleva $- 8.1$ a la potencia de $2$ .

$65.61 \cdot 0.1 + {(10 - (13.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Paso 7.1.4

Multiplica $65.61$ por $0.1$ .

$6.561 + {(10 - (13.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Paso 7.1.5

Multiplica $- 1$ por $13.1$ .

$6.561 + {(10 - 13.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Paso 7.1.6

Resta $13.1$ de $10$ .

$6.561 + {(- 3.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Paso 7.1.7

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $2$ .

$6.561 + 9.61 \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Paso 7.1.8

Multiplica $9.61$ por $0.2$ .

$6.561 + 1.922 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Paso 7.1.9

Multiplica $- 1$ por $13.1$ .

$6.561 + 1.922 + {(13 - 13.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Paso 7.1.10

Resta $13.1$ de $13$ .

$6.561 + 1.922 + {(- 0.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Paso 7.1.11

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $2$ .

$6.561 + 1.922 + 0.01 \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Paso 7.1.12

Multiplica $0.01$ por $0.3$ .

$6.561 + 1.922 + 0.003 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Paso 7.1.13

Multiplica $- 1$ por $13.1$ .

$6.561 + 1.922 + 0.003 + {(16 - 13.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Paso 7.1.14

Resta $13.1$ de $16$ .

$6.561 + 1.922 + 0.003 + {2.9}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Paso 7.1.15

Eleva $2.9$ a la potencia de $2$ .

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 8.41 \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Paso 7.1.16

Multiplica $8.41$ por $0.1$ .

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 0.841 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Paso 7.1.17

Multiplica $- 1$ por $13.1$ .

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 0.841 + {(17 - 13.1)}^{2} \cdot 0.3$

Paso 7.1.18

Resta $13.1$ de $17$ .

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 0.841 + {3.9}^{2} \cdot 0.3$

Paso 7.1.19

Eleva $3.9$ a la potencia de $2$ .

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 0.841 + 15.21 \cdot 0.3$

Paso 7.1.20

Multiplica $15.21$ por $0.3$ .

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 0.841 + 4.563$

Paso 7.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 7.2.1

Suma $6.561$ y $1.922$ .

$8.483 + 0.003 + 0.841 + 4.563$

Paso 7.2.2

Suma $8.483$ y $0.003$ .

$8.486 + 0.841 + 4.563$

Paso 7.2.3

Suma $8.486$ y $0.841$ .

$9.327 + 4.563$

Paso 7.2.4

Suma $9.327$ y $4.563$ .

$13.89$