Matemática discreta Ejemplos

$\begin{array}{c} Class & Frequency \\ 90 - 99 & 4 \\ 80 - 89 & 6 \\ 70 - 79 & 4 \\ 60 - 69 & 3 \\ 50 - 59 & 2 \\ 40 - 49 & 1 \end{array}$

Paso 1

Reordena las clases con sus frecuencias relacionadas en orden ascendente (número más bajo a número más alto), que es el más común.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) \\ 40 - 49 & 1 \\ 50 - 59 & 2 \\ 60 - 69 & 3 \\ 70 - 79 & 4 \\ 80 - 89 & 6 \\ 90 - 99 & 4 \end{array}$

Paso 2

Obtén el punto medio

$M$ para cada grupo.

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Paso 2.1

El límite inferior de cada clase es el menor valor de la clase. Por el contrario, el límite superior de cada clase es el mayor valor de la clase.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 40 - 49 & 1 & 40 & 49 \\ 50 - 59 & 2 & 50 & 59 \\ 60 - 69 & 3 & 60 & 69 \\ 70 - 79 & 4 & 70 & 79 \\ 80 - 89 & 6 & 80 & 89 \\ 90 - 99 & 4 & 90 & 99 \end{array}$

Paso 2.2

El punto medio de la clase es el límite inferior para la clase más el límite superior para la clase, dividido por

$2$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 40 & 49 & \frac{40 + 49}{2} \\ 50 - 59 & 2 & 50 & 59 & \frac{50 + 59}{2} \\ 60 - 69 & 3 & 60 & 69 & \frac{60 + 69}{2} \\ 70 - 79 & 4 & 70 & 79 & \frac{70 + 79}{2} \\ 80 - 89 & 6 & 80 & 89 & \frac{80 + 89}{2} \\ 90 - 99 & 4 & 90 & 99 & \frac{90 + 99}{2} \end{array}$

Paso 2.3

Simplifica toda la columna de puntos medios.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 40 & 49 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 50 & 59 & 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 60 & 69 & 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 70 & 79 & 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 80 & 89 & 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 90 & 99 & 94.5 \end{array}$

Paso 2.4

Suma la columna de puntos medios a la tabla original.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 \end{array}$

Paso 3

Calcula el cuadrado del punto medio de cada grupo

$M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & {44.5}^{2} \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & {54.5}^{2} \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & {64.5}^{2} \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & {74.5}^{2} \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & {84.5}^{2} \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & {94.5}^{2} \end{array}$

Paso 4

Simplifica la columna

$M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 \end{array}$

Paso 5

Multiplica cada punto medio al cuadrado por su frecuencia

$f$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 & 1 \cdot 1980.25 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 & 2 \cdot 2970.25 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 & 3 \cdot 4160.25 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 & 4 \cdot 5550.25 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 & 6 \cdot 7140.25 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 & 4 \cdot 8930.25 \end{array}$

Paso 6

Simplifica la columna

$f \cdot M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 & 1980.25 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 & 5940.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 & 12480.75 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 & 22201 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 & 42841.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 & 35721 \end{array}$

Paso 7

Obtén la suma de todas las frecuencias. En este caso, la suma de todas las frecuencias es

$n = 1, 2, 3, 4, 6, 4 = 20$ .

$\sum_{}^{} f = n = 20$

Paso 8

Obtén la suma de la columna

$f \cdot M^{2}$ . En este caso,

$1980.25 + 5940.5 + 12480.75 + 22201 + 42841.5 + 35721 = 121165$ .

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 121165$

Paso 9

Obtén la media

$μ$ .

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Paso 9.1

Reorder the classes with their related frequencies (ƒ) in an ascending order (lowest number to highest), which is the most common.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) \\ 40 - 49 & 1 \\ 50 - 59 & 2 \\ 60 - 69 & 3 \\ 70 - 79 & 4 \\ 80 - 89 & 6 \\ 90 - 99 & 4 \end{array}$

Paso 9.2

Obtén el punto medio

$M$ para cada clase.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 \end{array}$

Paso 9.3

Multiplica la frecuencia de cada clase por el punto medio de la clase.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1 \cdot 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2 \cdot 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 3 \cdot 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 4 \cdot 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 6 \cdot 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 4 \cdot 94.5 \end{array}$

Paso 9.4

Simplifica la columna

$f \cdot M$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 109 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 193.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 298 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 507 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 378 \end{array}$

Paso 9.5

Suma los valores en la columna

$f \cdot M$ .

$44.5 + 109 + 193.5 + 298 + 507 + 378 = 1530$

Paso 9.6

Suma los valores en la columna de frecuencia.

$n = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 4 = 20$

Paso 9.7

La media (mu) es la suma de

$f \cdot M$ dividido por

$n$ , que es la suma de frecuencias.

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

Paso 9.8

La media es la suma del producto de los puntos medios y las frecuencias, dividida por el total de frecuencias.

$μ = \frac{1530}{20}$

Paso 9.9

Simplifica el lado derecho de

$μ = \frac{1530}{20}$ .

$76.5$

Paso 10

La ecuación para la desviación estándar es

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

Paso 11

Sustituye los valores calculados en

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{121165 - 20 {(76.5)}^{2}}{20 - 1}$

Paso 12

Simplifica el lado derecho de

$S^{2} = \frac{121165 - 20 {(76.5)}^{2}}{20 - 1}$ para obtener la varianza

$S^{2} = 216.84210526$ .

$216.84210526$