Matemática discreta Ejemplos

$r = 4 \sin (θ)$ , $r = 4 \cos (θ)$

Paso 1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$4 \sin (θ) = 4 \cos (θ)$

Paso 2

Resuelve $4 \sin (θ) = 4 \cos (θ)$ en $θ$ .

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Paso 2.1

Divide cada término en la ecuación por $\cos (θ)$ .

$\frac{4 \sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 2.2

Separa las fracciones.

$\frac{4}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 2.3

Convierte de $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ a $\tan (θ)$ .

$\frac{4}{1} \cdot \tan (θ) = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 2.4

Divide $4$ por $1$ .

$4 \tan (θ) = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $\cos (θ)$ .

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Paso 2.5.1

Cancela el factor común.

$4 \tan (θ) = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 2.5.2

Divide $4$ por $1$ .

$4 \tan (θ) = 4$

Paso 2.6

Divide cada término en $4 \tan (θ) = 4$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.6.1

Divide cada término en $4 \tan (θ) = 4$ por $4$ .

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{4}{4}$

Paso 2.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{4}{4}$

Paso 2.6.2.1.2

Divide $\tan (θ)$ por $1$ .

$\tan (θ) = \frac{4}{4}$

Paso 2.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.3.1

Divide $4$ por $4$ .

$\tan (θ) = 1$

Paso 2.7

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de la tangente.

$θ = \arctan (1)$

Paso 2.8

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.8.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Paso 2.9

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Paso 2.10

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 2.10.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 2.10.2

Combina fracciones.

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Paso 2.10.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 2.10.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 2.10.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 2.10.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Paso 2.11

Obtén el período de $\tan (θ)$ .

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Paso 2.11.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 2.11.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 2.11.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 2.11.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.12

El período de la función $\tan (θ)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Evalúa $r$ cuando $θ = \frac{π}{4} + π n$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\frac{π}{4} + π n$ por $θ$ .

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n)$

Paso 3.2

Elimina los paréntesis.

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n)$

Paso 4

Evalúa $r$ cuando $θ = \frac{5 π}{4} + π n$ .

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Paso 4.1

Sustituye $\frac{5 π}{4} + π n$ por $θ$ .

$r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis.

$r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

Paso 5

La solución del sistema de ecuaciones comprende todos los valores que hacen que el sistema sea verdadero.

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n), θ = \frac{π}{4} + π n r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n), θ = \frac{5 π}{4} + π n$

Paso 6

Enumera todas las soluciones.

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n), θ = \frac{π}{4} + π n$

$r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n), θ = \frac{5 π}{4} + π n$