Matemática discreta Ejemplos

[\begin{matrix} - 3 & - 5 2 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño

2

$2$ es la matriz cuadrada

2 \times 2

$2 \times 2$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Paso 3.1

Sustituye

[\begin{matrix} - 3 & - 5 2 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}]$ por

A

$A$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} - 3 & - 5 2 & 0 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Paso 3.2

Sustituye

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} - 3 & - 5 2 & 0 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} - 3 & - 5 2 & 0 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica

- λ

$- λ$ por cada elemento de la matriz.

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} - 3 & - 5 2 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} - 3 & - 5 2 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} - 3 & - 5 2 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} - 3 & - 5 2 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} - 3 & - 5 2 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} - 3 & - 5 2 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} - 3 & - 5 2 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} - 3 & - 5 2 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} - 3 & - 5 2 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} - 3 & - 5 2 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} - 3 & - 5 2 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

p (λ) = determinante [\begin{matrix} - 3 - λ & - 5 + 0 2 + 0 & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Suma

- 5

$- 5$ y

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} - 3 - λ & - 5 2 + 0 & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma

2

$2$ y

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} - 3 - λ & - 5 2 & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ 2 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.3

Resta

λ

$λ$ de

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} - 3 - λ & - 5 2 & - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ 2 & - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{matrix} - 3 - λ & - 5 2 & - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ 2 & - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ) - 2 \cdot - 5$

Paso 5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = - 3 (- λ) - λ (- λ) - 2 \cdot - 5$

Paso 5.2.1.2

Multiplica

$- 1$ por

$- 3$ .

$p (λ) = 3 λ - λ (- λ) - 2 \cdot - 5$

Paso 5.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot - 5$

Paso 5.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.4.1

Multiplica

$λ$ por

$λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.4.1.1

Mueve

$λ$ .

$p (λ) = 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot - 5$

Paso 5.2.1.4.1.2

Multiplica

$λ$ por

$λ$ .

$p (λ) = 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot - 5$

Paso 5.2.1.4.2

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$p (λ) = 3 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot - 5$

Paso 5.2.1.4.3

Multiplica

$λ^{2}$ por

$1$ .

$p (λ) = 3 λ + λ^{2} - 2 \cdot - 5$

Paso 5.2.1.5

Multiplica

$- 2$ por

$- 5$ .

$p (λ) = 3 λ + λ^{2} + 10$

Paso 5.2.2

Reordena

$3 λ$ y

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} + 3 λ + 10$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a

$0$ para obtener los valores propios

$λ$ .

$λ^{2} + 3 λ + 10 = 0$

Paso 7

Resuelve

$λ$

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Paso 7.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2

Sustituye los valores

$a = 1$ ,

$b = 3$ y

$c = 10$ en la fórmula cuadrática y resuelve

$λ$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1.1

Eleva

$3$ a la potencia de

$2$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica

$- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Multiplica

$- 4$ por

$1$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2.2

Multiplica

$- 4$ por

$10$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 40}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.3

Resta

$40$ de

$9$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 31}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.4

Reescribe

$- 31$ como

$- 1 (31)$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 31}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.5

Reescribe

$\sqrt{- 1 (31)}$ como

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.6

Reescribe

$\sqrt{- 1}$ como

$i$ .

$λ = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.2

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$λ = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{2}$

Paso 7.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$λ = - \frac{3 - i \sqrt{31}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{31}}{2}$