Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $2$ es la matriz cuadrada $2 \times 2$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Paso 3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Paso 3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Suma $- 5$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma $2$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ 2 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.3

Resta $λ$ de $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ 2 & - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ) - 2 \cdot - 5$

Paso 5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = - 3 (- λ) - λ (- λ) - 2 \cdot - 5$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$p (λ) = 3 λ - λ (- λ) - 2 \cdot - 5$

Paso 5.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot - 5$

Paso 5.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.4.1

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.4.1.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot - 5$

Paso 5.2.1.4.1.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot - 5$

Paso 5.2.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 3 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot - 5$

Paso 5.2.1.4.3

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 3 λ + λ^{2} - 2 \cdot - 5$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 5$ .

$p (λ) = 3 λ + λ^{2} + 10$

Paso 5.2.2

Reordena $3 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} + 3 λ + 10$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$λ^{2} + 3 λ + 10 = 0$

Paso 7

Resuelve $λ$

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Paso 7.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 3$ y $c = 10$ en la fórmula cuadrática y resuelve $λ$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $10$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 40}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.3

Resta $40$ de $9$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 31}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.4

Reescribe $- 31$ como $- 1 (31)$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 31}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (31)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$λ = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$λ = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{2}$

Paso 7.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$λ = - \frac{3 - i \sqrt{31}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{31}}{2}$