Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & - 1 \end{array}]$

Paso 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 2

Find the determinant.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 1 - 2 \cdot 2$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 - 2 \cdot 2$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- 1 - 4$

Paso 2.2.2

Resta $4$ de $- 1$ .

$- 5$

Paso 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 5} [\begin{array}{c} - 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array}]$

Paso 5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{5} [\begin{array}{c} - 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array}]$

Paso 6

Multiplica $- \frac{1}{5}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \cdot - 1 & - \frac{1}{5} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{5} \cdot - 2 & - \frac{1}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 7

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 7.1

Multiplica $- \frac{1}{5} \cdot - 1$ .

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Paso 7.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 (\frac{1}{5}) & - \frac{1}{5} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{5} \cdot - 2 & - \frac{1}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 7.1.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{5} \cdot - 2 & - \frac{1}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 7.2

Multiplica $- \frac{1}{5} \cdot - 2$ .

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Paso 7.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & 2 (\frac{1}{5}) \\ - \frac{1}{5} \cdot - 2 & - \frac{1}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 7.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{5}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{1}{5} \cdot - 2 & - \frac{1}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 7.3

Multiplica $- \frac{1}{5} \cdot - 2$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ 2 (\frac{1}{5}) & - \frac{1}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 7.3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{5}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 7.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} \end{array}]$