Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 \\ 2 & - 5 & 1 \\ 1 & 6 & 3 \end{array}]$

Paso 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & 1 \\ 6 & 3 \end{array} |$

Paso 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 5 & 1 \\ 6 & 3 \end{array} |$

Paso 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Paso 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Paso 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 5 \\ 1 & 6 \end{array} |$

Paso 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 5 \\ 1 & 6 \end{array} |$

Paso 1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 5 & 1 \\ 6 & 3 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 5 \\ 1 & 6 \end{array} |$

Paso 2

Evalúa $| \begin{array}{c} - 5 & 1 \\ 6 & 3 \end{array} |$ .

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- 5 \cdot 3 - 6 \cdot 1) + 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 5 \\ 1 & 6 \end{array} |$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$1 (- 15 - 6 \cdot 1) + 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 5 \\ 1 & 6 \end{array} |$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$1 (- 15 - 6) + 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 5 \\ 1 & 6 \end{array} |$

Paso 2.2.2

Resta $6$ de $- 15$ .

$1 \cdot - 21 + 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 5 \\ 1 & 6 \end{array} |$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 21 + 2 (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 5 \\ 1 & 6 \end{array} |$

Paso 3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$1 \cdot - 21 + 2 (6 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 5 \\ 1 & 6 \end{array} |$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 \cdot - 21 + 2 (6 - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 5 \\ 1 & 6 \end{array} |$

Paso 3.2.2

Resta $1$ de $6$ .

$1 \cdot - 21 + 2 \cdot 5 + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 5 \\ 1 & 6 \end{array} |$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} 2 & - 5 \\ 1 & 6 \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 21 + 2 \cdot 5 + 1 (2 \cdot 6 - 1 \cdot - 5)$

Paso 4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $2$ por $6$ .

$1 \cdot - 21 + 2 \cdot 5 + 1 (12 - 1 \cdot - 5)$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$1 \cdot - 21 + 2 \cdot 5 + 1 (12 + 5)$

Paso 4.2.2

Suma $12$ y $5$ .

$1 \cdot - 21 + 2 \cdot 5 + 1 \cdot 17$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Multiplica $- 21$ por $1$ .

$- 21 + 2 \cdot 5 + 1 \cdot 17$

Paso 5.1.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$- 21 + 10 + 1 \cdot 17$

Paso 5.1.3

Multiplica $17$ por $1$ .

$- 21 + 10 + 17$

Paso 5.2

Suma $- 21$ y $10$ .

$- 11 + 17$

Paso 5.3

Suma $- 11$ y $17$ .

$6$