Matemática discreta Ejemplos

$2 x + 5 y - z = 2$ , $3 x + 8 y + z = 5$

Paso 1

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Resta $5 y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x - z = 2 - 5 y$

$3 x + 8 y + z = 5$

Paso 1.1.2

Suma $z$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 2 - 5 y + z$

$3 x + 8 y + z = 5$

$2 x = 2 - 5 y + z$

$3 x + 8 y + z = 5$

Paso 1.2

Divide cada término en $2 x = 2 - 5 y + z$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $2 x = 2 - 5 y + z$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{2} + \frac{- 5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

$x = \frac{2}{2} + \frac{- 5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

$x = \frac{2}{2} + \frac{- 5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Divide $2$ por $2$ .

$x = 1 + \frac{- 5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

Paso 1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 x + 8 y + z = 5$

Paso 2

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 2.1

Simplifica $3 (1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}) + 8 y + z$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cdot 1 + 3 (- \frac{5 y}{2}) + 3 (\frac{z}{2}) + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.1.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.1.2.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + 3 (- \frac{5 y}{2}) + 3 (\frac{z}{2}) + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.1.1.2.2

Multiplica $3 (- \frac{5 y}{2})$ .

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Paso 2.1.1.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 - 3 \frac{5 y}{2} + 3 (\frac{z}{2}) + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.1.1.2.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{5 y}{2}$ .

$3 + \frac{- 3 (5 y)}{2} + 3 (\frac{z}{2}) + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.1.1.2.2.3

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$3 + \frac{- 15 y}{2} + 3 (\frac{z}{2}) + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 + \frac{- 15 y}{2} + 3 (\frac{z}{2}) + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.1.1.2.3

Combina $3$ y $\frac{z}{2}$ .

$3 + \frac{- 15 y}{2} + \frac{3 z}{2} + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 + \frac{- 15 y}{2} + \frac{3 z}{2} + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.1.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 - \frac{15 y}{2} + \frac{3 z}{2} + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$3 - \frac{15 y}{2} + \frac{3 z}{2} + 8 y + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.1.2

Para escribir $8 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 + \frac{3 z}{2} - \frac{15 y}{2} + 8 y \cdot \frac{2}{2} + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.1.3

Combina $8 y$ y $\frac{2}{2}$ .

$3 + \frac{3 z}{2} - \frac{15 y}{2} + \frac{8 y \cdot 2}{2} + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 + \frac{3 z}{2} + \frac{- 15 y + 8 y \cdot 2}{2} + z = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 + z + \frac{3 z - 15 y + 8 y \cdot 2}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.1.6

Multiplica $2$ por $8$ .

$3 + z + \frac{3 z - 15 y + 16 y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.1.7

Suma $- 15 y$ y $16 y$ .

$3 + z + \frac{3 z + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.1.8

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$z + 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 z + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.1.9

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$z + \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{3 z + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.1.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$z + \frac{3 \cdot 2 + 3 z + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.1.11

Multiplica $3$ por $2$ .

$z + \frac{6 + 3 z + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.1.12

Para escribir $z$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$z \cdot \frac{2}{2} + \frac{6 + 3 z + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.1.13

Simplifica los términos.

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Paso 2.1.13.1

Combina $z$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{z \cdot 2}{2} + \frac{6 + 3 z + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.1.13.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{z \cdot 2 + 6 + 3 z + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$\frac{z \cdot 2 + 6 + 3 z + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.1.14

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.14.1

Mueve $2$ a la izquierda de $z$ .

$\frac{2 \cdot z + 6 + 3 z + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.1.14.2

Suma $2 z$ y $3 z$ .

$\frac{5 z + 6 + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$\frac{5 z + 6 + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$\frac{5 z + 6 + y}{2} = 5$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.2

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{5 z + 6 + y}{2} \cdot 2 = 5 \cdot 2$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.1

Simplifica $\frac{5 z + 6 + y}{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 z + 6 + y}{2} \cdot 2 = 5 \cdot 2$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$5 z + 6 + y = 5 \cdot 2$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$5 z + 6 + y = 5 \cdot 2$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.3.1.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.1.2.1

Mueve $6$ .

$5 z + y + 6 = 5 \cdot 2$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.3.1.1.2.2

Reordena $5 z$ y $y$ .

$y + 5 z + 6 = 5 \cdot 2$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$y + 5 z + 6 = 5 \cdot 2$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$y + 5 z + 6 = 5 \cdot 2$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$y + 5 z + 6 = 5 \cdot 2$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$y + 5 z + 6 = 10$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$y + 5 z + 6 = 10$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$y + 5 z + 6 = 10$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.4

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.4.1

Resta $5 z$ de ambos lados de la ecuación.

$y + 6 = 10 - 5 z$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.4.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 10 - 5 z - 6$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 2.4.3

Resta $6$ de $10$ .

$y = - 5 z + 4$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$y = - 5 z + 4$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

$y = - 5 z + 4$

$x = 1 - \frac{5 y}{2} + \frac{z}{2}$

Paso 3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1

Simplifica $1 - \frac{5 (- 5 z + 4)}{2} + \frac{z}{2}$ .

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Paso 3.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = 1 + \frac{- 5 (- 5 z + 4) + z}{2}$

$y = - 5 z + 4$

Paso 3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = 1 + \frac{- 5 (- 5 z) - 5 \cdot 4 + z}{2}$

$y = - 5 z + 4$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$x = 1 + \frac{25 z - 5 \cdot 4 + z}{2}$

$y = - 5 z + 4$

Paso 3.1.2.3

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$x = 1 + \frac{25 z - 20 + z}{2}$

$y = - 5 z + 4$

$x = 1 + \frac{25 z - 20 + z}{2}$

$y = - 5 z + 4$

Paso 3.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1.3.1

Suma $25 z$ y $z$ .

$x = 1 + \frac{26 z - 20}{2}$

$y = - 5 z + 4$

Paso 3.1.3.2

Cancela el factor común de $26 z - 20$ y $2$ .

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Paso 3.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $26 z$ .

$x = 1 + \frac{2 (13 z) - 20}{2}$

$y = - 5 z + 4$

Paso 3.1.3.2.2

Factoriza $2$ de $- 20$ .

$x = 1 + \frac{2 (13 z) + 2 \cdot - 10}{2}$

$y = - 5 z + 4$

Paso 3.1.3.2.3

Factoriza $2$ de $2 (13 z) + 2 (- 10)$ .

$x = 1 + \frac{2 (13 z - 10)}{2}$

$y = - 5 z + 4$

Paso 3.1.3.2.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.3.2.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x = 1 + \frac{2 (13 z - 10)}{2 (1)}$

$y = - 5 z + 4$

Paso 3.1.3.2.4.2

Cancela el factor común.

$x = 1 + \frac{2 (13 z - 10)}{2 \cdot 1}$

$y = - 5 z + 4$

Paso 3.1.3.2.4.3

Reescribe la expresión.

$x = 1 + \frac{13 z - 10}{1}$

$y = - 5 z + 4$

Paso 3.1.3.2.4.4

Divide $13 z - 10$ por $1$ .

$x = 1 + 13 z - 10$

$y = - 5 z + 4$

$x = 1 + 13 z - 10$

$y = - 5 z + 4$

$x = 1 + 13 z - 10$

$y = - 5 z + 4$

Paso 3.1.3.3

Resta $10$ de $1$ .

$x = 13 z - 9$

$y = - 5 z + 4$

$x = 13 z - 9$

$y = - 5 z + 4$

$x = 13 z - 9$

$y = - 5 z + 4$

$x = 13 z - 9$

$y = - 5 z + 4$