Matemática discreta Ejemplos

$5 x + 2 y - 4 = 0$ , $3 x - y - 9 = 0$

Paso 1

Resuelve $x$ en $5 x + 2 y - 4 = 0$ .

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x - 4 = - 2 y$

$3 x - y - 9 = 0$

Paso 1.1.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = - 2 y + 4$

$3 x - y - 9 = 0$

$5 x = - 2 y + 4$

$3 x - y - 9 = 0$

Paso 1.2

Divide cada término en $5 x = - 2 y + 4$ por $5$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $5 x = - 2 y + 4$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$3 x - y - 9 = 0$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$3 x - y - 9 = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$3 x - y - 9 = 0$

$x = \frac{- 2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$3 x - y - 9 = 0$

$x = \frac{- 2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$3 x - y - 9 = 0$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$3 x - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$3 x - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$3 x - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$3 x - y - 9 = 0$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $3 x - y - 9 = 0$ por $- \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$ .

$3 (- \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}) - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $3 (- \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}) - y - 9$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (- \frac{2 y}{5}) + 3 (\frac{4}{5}) - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $3 (- \frac{2 y}{5})$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \frac{2 y}{5} + 3 (\frac{4}{5}) - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{2 y}{5}$ .

$\frac{- 3 (2 y)}{5} + 3 (\frac{4}{5}) - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{- 6 y}{5} + 3 (\frac{4}{5}) - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$\frac{- 6 y}{5} + 3 (\frac{4}{5}) - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $3 (\frac{4}{5})$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Combina $3$ y $\frac{4}{5}$ .

$\frac{- 6 y}{5} + \frac{3 \cdot 4}{5} - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{- 6 y}{5} + \frac{12}{5} - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$\frac{- 6 y}{5} + \frac{12}{5} - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6 y}{5} + \frac{12}{5} - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$- \frac{6 y}{5} + \frac{12}{5} - y - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $- y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{6 y}{5} - y \cdot \frac{5}{5} + \frac{12}{5} - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.3

Combina $- y$ y $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{6 y}{5} + \frac{- y \cdot 5}{5} + \frac{12}{5} - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 6 y - y \cdot 5}{5} + \frac{12}{5} - 9 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 9 + \frac{- 6 y - y \cdot 5 + 12}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 9 + \frac{- 6 y - 5 y + 12}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.7

Resta $5 y$ de $- 6 y$ .

$- 9 + \frac{- 11 y + 12}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.8

Para escribir $- 9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$- 9 \cdot \frac{5}{5} + \frac{- 11 y + 12}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.9

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1.9.1

Combina $- 9$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{- 9 \cdot 5}{5} + \frac{- 11 y + 12}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.9.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 9 \cdot 5 - 11 y + 12}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$\frac{- 9 \cdot 5 - 11 y + 12}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.10.1

Multiplica $- 9$ por $5$ .

$\frac{- 45 - 11 y + 12}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.10.2

Suma $- 45$ y $12$ .

$\frac{- 11 y - 33}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.10.3

Factoriza $11$ de $- 11 y - 33$ .

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Paso 2.2.1.10.3.1

Factoriza $11$ de $- 11 y$ .

$\frac{11 (- y) - 33}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.10.3.2

Factoriza $11$ de $- 33$ .

$\frac{11 (- y) + 11 (- 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.10.3.3

Factoriza $11$ de $11 (- y) + 11 (- 3)$ .

$\frac{11 (- y - 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$\frac{11 (- y - 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$\frac{11 (- y - 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.11

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.2.1.11.1

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{11 (- (y) - 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.11.2

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{11 (- (y) - 1 \cdot 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.11.3

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (3)$ .

$\frac{11 (- (y + 3))}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.11.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.11.4.1

Reescribe $- (y + 3)$ como $- 1 (y + 3)$ .

$\frac{11 (- 1 (y + 3))}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.2.1.11.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{11 (y + 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$- \frac{11 (y + 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$- \frac{11 (y + 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$- \frac{11 (y + 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$- \frac{11 (y + 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$- \frac{11 (y + 3)}{5} = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $- \frac{11 (y + 3)}{5} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece el numerador igual a cero.

$11 (y + 3) = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 3.2

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $11 (y + 3) = 0$ por $11$ y simplifica.

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Paso 3.2.1.1

Divide cada término en $11 (y + 3) = 0$ por $11$ .

$\frac{11 (y + 3)}{11} = \frac{0}{11}$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.2.1

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 3.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{11 (y + 3)}{11} = \frac{0}{11}$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 3.2.1.2.1.2

Divide $y + 3$ por $1$ .

$y + 3 = \frac{0}{11}$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$y + 3 = \frac{0}{11}$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$y + 3 = \frac{0}{11}$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 3.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1.3.1

Divide $0$ por $11$ .

$y + 3 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$y + 3 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$y + 3 = 0$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 3.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 3$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$y = - 3$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

$y = - 3$

$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 3$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - \frac{2 y}{5} + \frac{4}{5}$ por $- 3$ .

$x = - \frac{2 (- 3)}{5} + \frac{4}{5}$

$y = - 3$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- \frac{2 (- 3)}{5} + \frac{4}{5}$ .

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Paso 4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 2 \cdot - 3 + 4}{5}$

$y = - 3$

Paso 4.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$x = \frac{6 + 4}{5}$

$y = - 3$

Paso 4.2.1.2.2

Suma $6$ y $4$ .

$x = \frac{10}{5}$

$y = - 3$

Paso 4.2.1.2.3

Divide $10$ por $5$ .

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(2, - 3)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(2, - 3)$

Forma de la ecuación:

$x = 2, y = - 3$

Paso 7