Matemática discreta Ejemplos

$12 x - 5 y = 9$ , $3 x - 8 y = - 18$

Paso 1

Resuelve $x$ en $12 x - 5 y = 9$ .

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Paso 1.1

Suma $5 y$ a ambos lados de la ecuación.

$12 x = 9 + 5 y$

$3 x - 8 y = - 18$

Paso 1.2

Divide cada término en $12 x = 9 + 5 y$ por $12$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $12 x = 9 + 5 y$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{9}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x}{12} = \frac{9}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{9}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{9}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{9}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Cancela el factor común de $9$ y $12$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$x = \frac{3 (3)}{12} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Paso 1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Paso 1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Paso 1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$3 x - 8 y = - 18$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $3 x - 8 y = - 18$ por $\frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$ .

$3 (\frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $3 (\frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}) - 8 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (\frac{3}{4}) + 3 (\frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $3 (\frac{3}{4})$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Combina $3$ y $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{4} + 3 (\frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9}{4} + 3 (\frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9}{4} + 3 (\frac{5 y}{12}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{9}{4} + 3 (\frac{5 y}{3 (4)}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{9}{4} + 3 (\frac{5 y}{3 \cdot 4}) - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{4} + \frac{5 y}{4} - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9}{4} + \frac{5 y}{4} - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9}{4} + \frac{5 y}{4} - 8 y = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $- 8 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{4} + \frac{5 y}{4} - 8 y \cdot \frac{4}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.3

Combina $- 8 y$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{4} + \frac{5 y}{4} + \frac{- 8 y \cdot 4}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9}{4} + \frac{5 y - 8 y \cdot 4}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9 + 5 y - 8 y \cdot 4}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$\frac{9 + 5 y - 32 y}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.7

Resta $32 y$ de $5 y$ .

$\frac{9 - 27 y}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.8

Factoriza $9$ de $9 - 27 y$ .

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Paso 2.2.1.8.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$\frac{9 (1) - 27 y}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.8.2

Factoriza $9$ de $- 27 y$ .

$\frac{9 (1) + 9 (- 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 2.2.1.8.3

Factoriza $9$ de $9 (1) + 9 (- 3 y)$ .

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{9 (1 - 3 y)}{4} = - 18$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados por $4$ .

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} \cdot 4 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $\frac{9 (1 - 3 y)}{4} \cdot 4$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 (1 - 3 y)}{4} \cdot 4 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 3.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$9 (1 - 3 y) = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$9 (1 - 3 y) = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 \cdot 1 + 9 (- 3 y) = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 3.2.1.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1.1.3.1

Multiplica $9$ por $1$ .

$9 + 9 (- 3 y) = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 3.2.1.1.3.2

Multiplica $- 3$ por $9$ .

$9 - 27 y = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 3.2.1.1.3.3

Reordena $9$ y $- 27 y$ .

$- 27 y + 9 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y + 9 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y + 9 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y + 9 = - 18 \cdot 4$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $- 18$ por $4$ .

$- 27 y + 9 = - 72$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y + 9 = - 72$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y + 9 = - 72$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$- 27 y = - 72 - 9$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 3.3.1.2

Resta $9$ de $- 72$ .

$- 27 y = - 81$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$- 27 y = - 81$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $- 27 y = - 81$ por $- 27$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $- 27 y = - 81$ por $- 27$ .

$\frac{- 27 y}{- 27} = \frac{- 81}{- 27}$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 27$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 27 y}{- 27} = \frac{- 81}{- 27}$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 81}{- 27}$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = \frac{- 81}{- 27}$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = \frac{- 81}{- 27}$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Divide $- 81$ por $- 27$ .

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $3$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{3}{4} + \frac{5 y}{12}$ por $3$ .

$x = \frac{3}{4} + \frac{5 (3)}{12}$

$y = 3$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{3}{4} + \frac{5 (3)}{12}$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$x = \frac{3}{4} + \frac{15}{12}$

$y = 3$

Paso 4.2.1.2

Cancela el factor común de $15$ y $12$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$x = \frac{3}{4} + \frac{3 (5)}{12}$

$y = 3$

Paso 4.2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$x = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4}$

$y = 3$

Paso 4.2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4}$

$y = 3$

Paso 4.2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{4} + \frac{5}{4}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5}{4}$

$y = 3$

$x = \frac{3}{4} + \frac{5}{4}$

$y = 3$

Paso 4.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{3 + 5}{4}$

$y = 3$

Paso 4.2.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.4.1

Suma $3$ y $5$ .

$x = \frac{8}{4}$

$y = 3$

Paso 4.2.1.4.2

Divide $8$ por $4$ .

$x = 2$

$y = 3$

$x = 2$

$y = 3$

$x = 2$

$y = 3$

$x = 2$

$y = 3$

$x = 2$

$y = 3$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(2, 3)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(2, 3)$

Forma de la ecuación:

$x = 2, y = 3$

Paso 7