Matemática discreta Ejemplos

$(- 10, 8)$ , $7 x - 5 y = 2$

Paso 1

Resuelve la ecuación en $y$ en términos de $x$ .

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Paso 1.1

Resta $7 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 y = 2 - 7 x$

Paso 1.2

Divide cada término en $- 5 y = 2 - 7 x$ por $- 5$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $- 5 y = 2 - 7 x$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{2}{- 5} + \frac{- 7 x}{- 5}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{2}{- 5} + \frac{- 7 x}{- 5}$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{- 5} + \frac{- 7 x}{- 5}$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{2}{5} + \frac{- 7 x}{- 5}$

Paso 1.2.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = - \frac{2}{5} + \frac{7 x}{5}$

Paso 2

Según el teorema de valor medio, si $f$ es una función continua con valor real en el intervalo $[a, b]$ y $u$ es un número entre $f (a)$ y $f (b)$ , entonces hay una $c$ contenida en el intervalo $[a, b]$ de tal modo que $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Calcula $f (a) = f (- 10) = - \frac{2}{5} + \frac{7 (- 10)}{5}$ .

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Paso 4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 10) = \frac{- 2 + 7 (- 10)}{5}$

Paso 4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1

Multiplica $7$ por $- 10$ .

$f (- 10) = \frac{- 2 - 70}{5}$

Paso 4.2.2

Resta $70$ de $- 2$ .

$f (- 10) = \frac{- 72}{5}$

Paso 4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 10) = - \frac{72}{5}$

Paso 5

Calcula $f (b) = f (8) = - \frac{2}{5} + \frac{7 (8)}{5}$ .

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (8) = \frac{- 2 + 7 (8)}{5}$

Paso 5.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1

Multiplica $7$ por $8$ .

$f (8) = \frac{- 2 + 56}{5}$

Paso 5.2.2

Suma $- 2$ y $56$ .

$f (8) = \frac{54}{5}$

Paso 6

Como $0$ está en el intervalo $[- \frac{72}{5}, \frac{54}{5}]$ , resuelve la ecuación en $x$ en la raíz mediante el establecimiento de $y$ a $0$ en $y = - \frac{2}{5} + \frac{7 x}{5}$ .

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{2}{5} + \frac{7 x}{5} = 0$ .

$- \frac{2}{5} + \frac{7 x}{5} = 0$

Paso 6.2

Suma $\frac{2}{5}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{7 x}{5} = \frac{2}{5}$

Paso 6.3

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$7 x = 2$

Paso 6.4

Divide cada término en $7 x = 2$ por $7$ y simplifica.

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Paso 6.4.1

Divide cada término en $7 x = 2$ por $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{2}{7}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 x}{7} = \frac{2}{7}$

Paso 6.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{7}$

Paso 7

Según el teorema de valor medio, hay una raíz $f (c) = 0$ en el intervalo $[- \frac{72}{5}, \frac{54}{5}]$ porque $f$ es una función continua en $[- 10, 8]$ .

Las raíces en el intervalo $[- 10, 8]$ se ubican en $x = \frac{2}{7}$ .

Paso 8