Matemática discreta Ejemplos

$(5 + i \sqrt{3}) (5 - i \sqrt{3})$

Paso 1

Expande $(5 + i \sqrt{3}) (5 - i \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (5 - i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (5 - i \sqrt{3})$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cdot 5 + 5 (- i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (5 - i \sqrt{3})$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cdot 5 + 5 (- i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \cdot 5 + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Paso 2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$25 + 5 (- i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \cdot 5 + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Paso 2.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$25 - 5 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \cdot 5 + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Paso 2.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $i \sqrt{3}$ .

$25 - 5 i \sqrt{3} + 5 \cdot (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Paso 2.1.4

Multiplica $i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$ .

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Paso 2.1.4.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$25 - 5 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} + \sqrt{3} (- (i^{1} i) \sqrt{3})$

Paso 2.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$25 - 5 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} + \sqrt{3} (- (i^{1} i^{1}) \sqrt{3})$

Paso 2.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$25 - 5 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} + \sqrt{3} (- i^{1 + 1} \sqrt{3})$

Paso 2.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$25 - 5 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} + \sqrt{3} (- i^{2} \sqrt{3})$

Paso 2.1.4.5

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$25 - 5 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} - i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Paso 2.1.4.6

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$25 - 5 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} - i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Paso 2.1.4.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$25 - 5 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} - i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Paso 2.1.4.8

Suma $1$ y $1$ .

$25 - 5 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} - i^{2} {\sqrt{3}}^{2}$

Paso 2.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$25 - 5 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} - - 1 {\sqrt{3}}^{2}$

Paso 2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$25 - 5 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{2}$

Paso 2.1.7

Multiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$25 - 5 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}$

Paso 2.1.8

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$25 - 5 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.1.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 - 5 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.1.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$25 - 5 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.8.4.1

Cancela el factor común.

$25 - 5 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.8.4.2

Reescribe la expresión.

$25 - 5 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} + 3^{1}$

Paso 2.1.8.5

Evalúa el exponente.

$25 - 5 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} + 3$

Paso 2.2

Suma $25$ y $3$ .

$- 5 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} + 28$

Paso 2.3

Suma $- 5 i \sqrt{3}$ y $5 i \sqrt{3}$ .

$0 + 28$

Paso 2.4

Suma $0$ y $28$ .

$28$