Matemática discreta Ejemplos

${(2 + 5 i)}^{2} + (3 + 4 i) + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

${(2 + 5 i)}^{2} + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Paso 2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe ${(2 + 5 i)}^{2}$ como $(2 + 5 i) (2 + 5 i)$ .

$(2 + 5 i) (2 + 5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Paso 2.2

Expande $(2 + 5 i) (2 + 5 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 + 5 i) + 5 i (2 + 5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 (5 i) + 5 i (2 + 5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 (5 i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 + 2 (5 i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$4 + 10 i + 5 i \cdot 2 + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Paso 2.3.1.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$4 + 10 i + 10 i + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $5 i (5 i)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.4.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 i i + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Paso 2.3.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 (i^{1} i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Paso 2.3.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 (i^{1} i^{1}) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Paso 2.3.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 + 10 i + 10 i + 25 i^{1 + 1} + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Paso 2.3.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 i^{2} + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Paso 2.3.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 \cdot - 1 + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Paso 2.3.1.6

Multiplica $25$ por $- 1$ .

$4 + 10 i + 10 i - 25 + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Paso 2.3.2

Resta $25$ de $4$ .

$- 21 + 10 i + 10 i + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Paso 2.3.3

Suma $10 i$ y $10 i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{i}{0.8660254 + 0.5 i}$ por el conjugado de $0.8660254 + 0.5 i$ para hacer real el denominador.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i}{0.8660254 + 0.5 i} \cdot \frac{0.8660254 - 0.5 i}{0.8660254 - 0.5 i}$

Paso 2.5

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Combinar.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 2.5.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i \cdot 0.8660254 + i (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 2.5.2.2

Mueve $0.8660254$ a la izquierda de $i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i + i (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 2.5.2.3

Multiplica $i (- 0.5 i)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.3.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 (i^{1} i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 2.5.2.3.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 (i^{1} i^{1})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 2.5.2.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 i^{1 + 1}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 2.5.2.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 i^{2}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 2.5.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.4.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 i - 0.5 \cdot - 1}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 2.5.2.4.2

Multiplica $- 0.5$ por $- 1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 i + 0.5}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 2.5.2.5

Reordena $0.8660254 i$ y $0.5$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 2.5.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1

Expande $(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.8660254 (0.8660254 - 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 2.5.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Paso 2.5.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Paso 2.5.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.2.1

Multiplica $0.8660254$ por $0.8660254$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Paso 2.5.3.2.2

Multiplica $- 0.5$ por $0.8660254$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Paso 2.5.3.2.3

Multiplica $0.8660254$ por $0.5$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Paso 2.5.3.2.4

Multiplica $- 0.5$ por $0.5$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i i}$

Paso 2.5.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i)}$

Paso 2.5.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i^{1})}$

Paso 2.5.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{1 + 1}}$

Paso 2.5.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{2}}$

Paso 2.5.3.2.9

Suma $- 0.4330127 i$ y $0.4330127 i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 i - 0.25 i^{2}}$

Paso 2.5.3.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.3.1

Multiplica $0$ por $i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 - 0.25 i^{2}}$

Paso 2.5.3.3.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 - 0.25 \cdot - 1}$

Paso 2.5.3.3.3

Multiplica $- 0.25$ por $- 1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 + 0.25}$

Paso 2.5.3.4

Suma $0.75$ y $0$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0.25}$

Paso 2.5.3.5

Suma $0.75$ y $0.25$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{1}$

Paso 2.6

Reescribe $0.5$ como $1 (0.5)$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5) + 0.8660254 i}{1}$

Paso 2.7

Factoriza $1$ de $0.8660254 i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5) + 1 (0.8660254 i)}{1}$

Paso 2.8

Factoriza $1$ de $1 (0.5) + 1 (0.8660254 i)$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5 + 0.8660254 i)}{1}$

Paso 2.9

Factoriza $1$ de $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5 + 0.8660254 i)}{1 (1)}$

Paso 2.10

Separa las fracciones.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1}{1} \cdot \frac{0.5 + 0.8660254 i}{1}$

Paso 2.11

Divide $1$ por $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 1 \frac{0.5 + 0.8660254 i}{1}$

Paso 2.12

Divide $0.5 + 0.8660254 i$ por $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 1 (0.5 + 0.8660254 i)$

Paso 2.13

Aplica la propiedad distributiva.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 1 \cdot 0.5 + 1 (0.8660254 i)$

Paso 2.14

Multiplica $1$ por $0.5$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 0.5 + 1 (0.8660254 i)$

Paso 2.15

Multiplica $0.8660254$ por $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 0.5 + 0.8660254 i$

Paso 3

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Suma $- 21$ y $3$ .

$- 18 + 20 i + 4 i + 0.5 + 0.8660254 i$

Paso 3.2

Suma $- 18$ y $0.5$ .

$- 17.5 + 20 i + 4 i + 0.8660254 i$

Paso 3.3

Suma $20 i$ y $4 i$ .

$- 17.5 + 24 i + 0.8660254 i$

Paso 3.4

Suma $24 i$ y $0.8660254 i$ .

$- 17.5 + 24.8660254 i$