Matemática discreta Ejemplos

$y = \frac{5}{x^{2} - 4 x + 7}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ .

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2} - 4 x + 7, 1$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$x^{2} - 4 x + 7, 1$

Paso 2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2} - 4 x + 7$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ por $x^{2} - 4 x + 7$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ por $x^{2} - 4 x + 7$ .

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} (x^{2} - 4 x + 7) = y (x^{2} - 4 x + 7)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $x^{2} - 4 x + 7$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} (x^{2} - 4 x + 7) = y (x^{2} - 4 x + 7)$

Paso 3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$5 = y (x^{2} - 4 x + 7)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 = y x^{2} + y (- 4 x) + y \cdot 7$

Paso 3.3.2

Simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 = y x^{2} - 4 y x + y \cdot 7$

Paso 3.3.2.2

Mueve $7$ a la izquierda de $y$ .

$5 = y x^{2} - 4 y x + 7 \cdot y$

$5 = y x^{2} - 4 y x + 7 y$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $y x^{2} - 4 y x + 7 y = 5$ .

$y x^{2} - 4 y x + 7 y = 5$

Paso 4.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$y x^{2} - 4 y x + 7 y - 5 = 0$

Paso 4.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.4

Sustituye los valores $a = y$ , $b = - 4 y$ y $c = 7 y - 5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4 y)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot (7 y - 5))}}{2 y}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1.1

Agrega paréntesis.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4 y)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot (7 y - 5))}}{2 y}$

Paso 4.5.1.2

Sea $u = y \cdot (7 y - 5)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $y \cdot (7 y - 5)$ .

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Paso 4.5.1.2.1

Aplica la regla del producto a $- 4 y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 y}$

Paso 4.5.1.2.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{16 y^{2} - 4 u}}{2 y}$

Paso 4.5.1.3

Factoriza $4$ de $16 y^{2} - 4 u$ .

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Paso 4.5.1.3.1

Factoriza $4$ de $16 y^{2}$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2}) - 4 u}}{2 y}$

Paso 4.5.1.3.2

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 y}$

Paso 4.5.1.3.3

Factoriza $4$ de $4 (4 y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - u)}}{2 y}$

Paso 4.5.1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y \cdot (7 y - 5)$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (y \cdot (7 y - 5)))}}{2 y}$

Paso 4.5.1.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.1.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (y (7 y) + y \cdot - 5))}}{2 y}$

Paso 4.5.1.5.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y \cdot y + y \cdot - 5))}}{2 y}$

Paso 4.5.1.5.1.3

Mueve $- 5$ a la izquierda de $y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y \cdot y - 5 \cdot y))}}{2 y}$

Paso 4.5.1.5.1.4

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.1.5.1.4.1

Mueve $y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 (y \cdot y) - 5 \cdot y))}}{2 y}$

Paso 4.5.1.5.1.4.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2} - 5 \cdot y))}}{2 y}$

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2} - 5 y))}}{2 y}$

Paso 4.5.1.5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2}) - (- 5 y))}}{2 y}$

Paso 4.5.1.5.1.6

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - 7 y^{2} - (- 5 y))}}{2 y}$

Paso 4.5.1.5.1.7

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - 7 y^{2} + 5 y)}}{2 y}$

Paso 4.5.1.5.2

Resta $7 y^{2}$ de $4 y^{2}$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (- 3 y^{2} + 5 y)}}{2 y}$

Paso 4.5.1.6

Factoriza $y$ de $- 3 y^{2} + 5 y$ .

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Paso 4.5.1.6.1

Factoriza $y$ de $- 3 y^{2}$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y) + 5 y)}}{2 y}$

Paso 4.5.1.6.2

Factoriza $y$ de $5 y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y) + y \cdot 5)}}{2 y}$

Paso 4.5.1.6.3

Factoriza $y$ de $y (- 3 y) + y \cdot 5$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y + 5))}}{2 y}$

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

Paso 4.5.1.7

Reescribe $4 y (- 3 y + 5)$ como $2^{2} (y (- 3 y + 5))$ .

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Paso 4.5.1.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{2^{2} y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

Paso 4.5.1.7.2

Agrega paréntesis.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{2^{2} (y (- 3 y + 5))}}{2 y}$

Paso 4.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 y \pm 2 \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

Paso 4.5.2

Simplifica $\frac{4 y \pm 2 \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{2 y}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

Paso 4.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{2 y + \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y + \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$