Matemática discreta Ejemplos

$6 ({1.02}^{5 x + 1}) = 9$

Paso 1

Divide cada término en $6 \cdot {1.02}^{5 x + 1} = 9$ por $6$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $6 \cdot {1.02}^{5 x + 1} = 9$ por $6$ .

$\frac{6 \cdot {1.02}^{5 x + 1}}{6} = \frac{9}{6}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 \cdot {1.02}^{5 x + 1}}{6} = \frac{9}{6}$

Paso 1.2.1.2

Divide ${1.02}^{5 x + 1}$ por $1$ .

${1.02}^{5 x + 1} = \frac{9}{6}$

Paso 1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común de $9$ y $6$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $3$ de $9$ .

${1.02}^{5 x + 1} = \frac{3 (3)}{6}$

Paso 1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

${1.02}^{5 x + 1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Paso 1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

${1.02}^{5 x + 1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Paso 1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

${1.02}^{5 x + 1} = \frac{3}{2}$

Paso 2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({1.02}^{5 x + 1}) = \ln (\frac{3}{2})$

Paso 3

Expande $\ln ({1.02}^{5 x + 1})$ ; para ello, mueve $5 x + 1$ fuera del logaritmo.

$(5 x + 1) \ln (1.02) = \ln (\frac{3}{2})$

Paso 4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1

Simplifica $(5 x + 1) \ln (1.02)$ .

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x \ln (1.02) + 1 \ln (1.02) = \ln (\frac{3}{2})$

Paso 4.1.2

Multiplica $\ln (1.02)$ por $1$ .

$5 x \ln (1.02) + \ln (1.02) = \ln (\frac{3}{2})$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$5 x \ln (1.02) + \ln (1.02) - \ln (\frac{3}{2}) = 0$

Paso 6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 x \ln (1.02) + \ln (\frac{1.02}{\frac{3}{2}}) = 0$

Paso 7

Simplifica cada término.

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Paso 7.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$5 x \ln (1.02) + \ln (1.02 (\frac{2}{3})) = 0$

Paso 7.2

Multiplica $1.02 (\frac{2}{3})$ .

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Paso 7.2.1

Combina $1.02$ y $\frac{2}{3}$ .

$5 x \ln (1.02) + \ln (\frac{1.02 \cdot 2}{3}) = 0$

Paso 7.2.2

Multiplica $1.02$ por $2$ .

$5 x \ln (1.02) + \ln (\frac{2.04}{3}) = 0$

Paso 7.3

Divide $2.04$ por $3$ .

$5 x \ln (1.02) + \ln (0.68) = 0$

Paso 8

Resta $\ln (0.68)$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x \ln (1.02) = - \ln (0.68)$

Paso 9

Divide cada término en $5 x \ln (1.02) = - \ln (0.68)$ por $5 \ln (1.02)$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $5 x \ln (1.02) = - \ln (0.68)$ por $5 \ln (1.02)$ .

$\frac{5 x \ln (1.02)}{5 \ln (1.02)} = \frac{- \ln (0.68)}{5 \ln (1.02)}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x \ln (1.02)}{5 \ln (1.02)} = \frac{- \ln (0.68)}{5 \ln (1.02)}$

Paso 9.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{- \ln (0.68)}{5 \ln (1.02)}$

Paso 9.2.2

Cancela el factor común de $\ln (1.02)$ .

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Paso 9.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{- \ln (0.68)}{5 \ln (1.02)}$

Paso 9.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (0.68)}{5 \ln (1.02)}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (0.68)}{5 \ln (1.02)}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\ln (0.68)}{5 \ln (1.02)}$

Forma decimal:

$x = 3.89506377 \dots$