Matemática discreta Ejemplos

$\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3} > 0$

Paso 1

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$\frac{x^{2} + 3 | x |}{x + 3} > 0$

Paso 2

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} + 3 | x | = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 3

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 | x | = - x^{2}$

Paso 4

Divide cada término en $3 | x | = - x^{2}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $3 | x | = - x^{2}$ por $3$ .

$\frac{3 | x |}{3} = \frac{- x^{2}}{3}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 | x |}{3} = \frac{- x^{2}}{3}$

Paso 4.2.1.2

Divide $| x |$ por $1$ .

$| x | = \frac{- x^{2}}{3}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$| x | = - \frac{x^{2}}{3}$

Paso 5

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x = \pm (- \frac{x^{2}}{3})$

Paso 6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = - \frac{x^{2}}{3}$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados por $3$ .

$x \cdot 3 = - \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$3 x = - \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{3}$ al numerador.

$3 x = \frac{- x^{2}}{3} \cdot 3$

Paso 6.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$3 x = \frac{- x^{2}}{3} \cdot 3$

Paso 6.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$3 x = - x^{2}$

Paso 6.4

Resuelve $x$

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Paso 6.4.1

Suma $x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x + x^{2} = 0$

Paso 6.4.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.4.2.1

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$3 u + u^{2} = 0$

Paso 6.4.2.2

Factoriza $u$ de $3 u + u^{2}$ .

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Paso 6.4.2.2.1

Factoriza $u$ de $3 u$ .

$u \cdot 3 + u^{2} = 0$

Paso 6.4.2.2.2

Factoriza $u$ de $u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u \cdot u = 0$

Paso 6.4.2.2.3

Factoriza $u$ de $u \cdot 3 + u \cdot u$ .

$u (3 + u) = 0$

Paso 6.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$x (3 + x) = 0$

Paso 6.4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 + x = 0$

Paso 6.4.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.4.5

Establece $3 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.4.5.1

Establece $3 + x$ igual a $0$ .

$3 + x = 0$

Paso 6.4.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 6.4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (3 + x) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 3$

Paso 6.5

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = \frac{x^{2}}{3}$

Paso 6.6

Multiplica ambos lados por $3$ .

$x \cdot 3 = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Paso 6.7

Simplifica.

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Paso 6.7.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.7.1.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$3 x = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Paso 6.7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.7.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$3 x = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Paso 6.7.2.1.2

Reescribe la expresión.

$3 x = x^{2}$

Paso 6.8

Resuelve $x$

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Paso 6.8.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x - x^{2} = 0$

Paso 6.8.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.8.2.1

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$3 u - u^{2} = 0$

Paso 6.8.2.2

Factoriza $u$ de $3 u - u^{2}$ .

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Paso 6.8.2.2.1

Factoriza $u$ de $3 u$ .

$u \cdot 3 - u^{2} = 0$

Paso 6.8.2.2.2

Factoriza $u$ de $- u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u (- u) = 0$

Paso 6.8.2.2.3

Factoriza $u$ de $u \cdot 3 + u (- u)$ .

$u (3 - u) = 0$

Paso 6.8.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$x (3 - x) = 0$

Paso 6.8.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 - x = 0$

Paso 6.8.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.8.5

Establece $3 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.8.5.1

Establece $3 - x$ igual a $0$ .

$3 - x = 0$

Paso 6.8.5.2

Resuelve $3 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 6.8.5.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 3$

Paso 6.8.5.2.2

Divide cada término en $- x = - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.8.5.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.8.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.8.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.8.5.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.8.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.8.5.2.2.3.1

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Paso 6.8.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (3 - x) = 0$ verdadera.

$x = 0, 3$

Paso 6.9

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 0, - 3, 3$

Paso 7

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0, - 3, 3$

$x = - 3$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = 0, - 3, 3, - 3$

Paso 10

Obtén el dominio de $\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3}$ .

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Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 3 = 0$

Paso 10.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 6)}^{2} + | 3 (- 6) |}{(- 6) + 3} > 0$

Paso 12.1.3

$- 18$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 2)}^{2} + | 3 (- 2) |}{(- 2) + 3} > 0$

Paso 12.2.3

$10$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{{(2)}^{2} + | 3 (2) |}{(2) + 3} > 0$

Paso 12.3.3

$2$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 12.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{{(6)}^{2} + | 3 (6) |}{(6) + 3} > 0$

Paso 12.4.3

$6$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Verdadero

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Verdadero

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 3 < x < 0$ o $0 < x < 3$ o $x > 3$

Paso 14

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 15