Matemática discreta Ejemplos

$y = 3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9$

Paso 1

Establece $3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9$ igual a $0$ .

$3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$- 8 x^{3} + 24 x + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- 8 x$ de $- 8 x^{3} + 24 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $- 8 x$ de $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} + 24 x + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $- 8 x$ de $24 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot - 3 + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $- 8 x$ de $- 8 x (x^{2}) - 8 x (- 3)$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $3$ de $3 x^{4} - 6 x^{2} - 9$ .

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Paso 2.1.3.1

Factoriza $3$ de $3 x^{4}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4}) - 6 x^{2} - 9 = 0$

Paso 2.1.3.2

Factoriza $3$ de $- 6 x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4}) + 3 (- 2 x^{2}) - 9 = 0$

Paso 2.1.3.3

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 x^{4} + 3 (- 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3 = 0$

Paso 2.1.3.4

Factoriza $3$ de $3 x^{4} + 3 (- 2 x^{2})$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4} - 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3 = 0$

Paso 2.1.3.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{4} - 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4} - 2 x^{2} - 3) = 0$

Paso 2.1.4

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3) = 0$

Paso 2.1.5

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Paso 2.1.6

Factoriza $u^{2} - 2 u - 3$ con el método AC.

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Paso 2.1.6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 2.1.6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza.

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Paso 2.1.7.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ((x^{2} - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

Paso 2.1.7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Paso 2.1.8

Factoriza $x^{2} - 3$ de $- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

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Paso 2.1.8.1

Factoriza $x^{2} - 3$ de $- 8 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Paso 2.1.8.2

Factoriza $x^{2} - 3$ de $3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (3 (x^{2} + 1)) = 0$

Paso 2.1.8.3

Factoriza $x^{2} - 3$ de $(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (3 (x^{2} + 1))$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 (x^{2} + 1)) = 0$

Paso 2.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 x^{2} + 3 \cdot 1) = 0$

Paso 2.1.10

Multiplica $3$ por $1$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 x^{2} + 3) = 0$

Paso 2.1.11

Reordena los términos.

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Paso 2.3

Establece $x^{2} - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x^{2} - 3$ igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $x^{2} - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 3$

Paso 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Paso 2.3.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{3}$

Paso 2.3.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{3}$

Paso 2.3.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 2.4

Establece $3 x^{2} - 8 x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $3 x^{2} - 8 x + 3$ igual a $0$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.4.2.2

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 8$ y $c = 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica.

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Paso 2.4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.3.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Paso 2.4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.2.3.1.3

Resta $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.2.3.1.4

Reescribe $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

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Paso 2.4.2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Paso 2.4.2.3.3

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Paso 2.4.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ verdadera.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Forma decimal:

$x = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots, 2.21525043 \dots, 0.45141622 \dots$

Paso 4