Matemática discreta Ejemplos

$\frac{7}{4} x - \frac{5}{2} y = 2$ , $\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Paso 1

Resuelve $x$ en $\frac{7}{4} x - \frac{5}{2} y = 2$ .

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Combina $\frac{7}{4}$ y $x$ .

$\frac{7 x}{4} - \frac{5}{2} y = 2$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Paso 1.1.2

Combina $y$ y $\frac{5}{2}$ .

$\frac{7 x}{4} - \frac{y \cdot 5}{2} = 2$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Paso 1.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{7 x}{4} - \frac{5 y}{2} = 2$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

$\frac{7 x}{4} - \frac{5 y}{2} = 2$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Paso 1.2

Suma $\frac{5 y}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{7 x}{4} = 2 + \frac{5 y}{2}$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{7}$ .

$\frac{4}{7} \cdot \frac{7 x}{4} = \frac{4}{7} \cdot (2 + \frac{5 y}{2})$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Paso 1.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.1.1

Simplifica $\frac{4}{7} \cdot \frac{7 x}{4}$ .

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Paso 1.4.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.4.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{7} \cdot \frac{7 x}{4} = \frac{4}{7} \cdot (2 + \frac{5 y}{2})$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Paso 1.4.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{7} \cdot (7 x) = \frac{4}{7} \cdot (2 + \frac{5 y}{2})$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

$\frac{1}{7} \cdot (7 x) = \frac{4}{7} \cdot (2 + \frac{5 y}{2})$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Paso 1.4.1.1.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 1.4.1.1.2.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$\frac{1}{7} \cdot (7 (x)) = \frac{4}{7} \cdot (2 + \frac{5 y}{2})$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Paso 1.4.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{7} \cdot (7 x) = \frac{4}{7} \cdot (2 + \frac{5 y}{2})$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Paso 1.4.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{4}{7} \cdot (2 + \frac{5 y}{2})$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{4}{7} \cdot (2 + \frac{5 y}{2})$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{4}{7} \cdot (2 + \frac{5 y}{2})$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{4}{7} \cdot (2 + \frac{5 y}{2})$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.1

Simplifica $\frac{4}{7} (2 + \frac{5 y}{2})$ .

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Paso 1.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{4}{7} \cdot 2 + \frac{4}{7} \cdot \frac{5 y}{2}$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Paso 1.4.2.1.2

Multiplica $\frac{4}{7} \cdot 2$ .

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Paso 1.4.2.1.2.1

Combina $\frac{4}{7}$ y $2$ .

$x = \frac{4 \cdot 2}{7} + \frac{4}{7} \cdot \frac{5 y}{2}$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Paso 1.4.2.1.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{8}{7} + \frac{4}{7} \cdot \frac{5 y}{2}$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{8}{7} + \frac{4}{7} \cdot \frac{5 y}{2}$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Paso 1.4.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.2.1.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{8}{7} + \frac{2 (2)}{7} \cdot \frac{5 y}{2}$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Paso 1.4.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{8}{7} + \frac{2 \cdot 2}{7} \cdot \frac{5 y}{2}$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Paso 1.4.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{8}{7} + \frac{2}{7} \cdot (5 y)$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{8}{7} + \frac{2}{7} \cdot (5 y)$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Paso 1.4.2.1.4

Combina $5$ y $\frac{2}{7}$ .

$x = \frac{8}{7} + \frac{5 \cdot 2}{7} y$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Paso 1.4.2.1.5

Multiplica $5$ por $2$ .

$x = \frac{8}{7} + \frac{10}{7} y$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Paso 1.4.2.1.6

Combina $\frac{10}{7}$ y $y$ .

$x = \frac{8}{7} + \frac{10 y}{7}$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{8}{7} + \frac{10 y}{7}$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{8}{7} + \frac{10 y}{7}$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{8}{7} + \frac{10 y}{7}$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Paso 1.5

Reordena $\frac{8}{7}$ y $\frac{10 y}{7}$ .

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

$\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $\frac{1}{4} x + \frac{7}{2} y = 8$ por $\frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$ .

$\frac{1}{4} \cdot (\frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}) + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $\frac{1}{4} \cdot (\frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}) + \frac{7}{2} y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{10 y}{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{7} + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} \cdot \frac{10 y}{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{7} + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Factoriza $2$ de $10 y$ .

$\frac{1}{2 (2)} \cdot \frac{2 (5 y)}{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{7} + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 (5 y)}{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{7} + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 y}{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{7} + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 y}{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{7} + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{5 y}{7}$ .

$\frac{5 y}{2 \cdot 7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{7} + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.1.4

Multiplica $2$ por $7$ .

$\frac{5 y}{14} + \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{7} + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.1.1.5.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{5 y}{14} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (2)}{7} + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.1.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 y}{14} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 2}{7} + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.1.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 y}{14} + \frac{2}{7} + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

$\frac{5 y}{14} + \frac{2}{7} + \frac{7}{2} y = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.1.6

Combina $\frac{7}{2}$ y $y$ .

$\frac{5 y}{14} + \frac{2}{7} + \frac{7 y}{2} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

$\frac{5 y}{14} + \frac{2}{7} + \frac{7 y}{2} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $\frac{7 y}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5 y}{14} + \frac{7 y}{2} \cdot \frac{7}{7} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $14$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.2.1.3.1

Multiplica $\frac{7 y}{2}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5 y}{14} + \frac{7 y \cdot 7}{2 \cdot 7} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.3.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$\frac{5 y}{14} + \frac{7 y \cdot 7}{14} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

$\frac{5 y}{14} + \frac{7 y \cdot 7}{14} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 y + 7 y \cdot 7}{14} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.5.1.1

Factoriza $y$ de $5 y + 7 y \cdot 7$ .

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Paso 2.2.1.5.1.1.1

Factoriza $y$ de $5 y$ .

$\frac{y \cdot 5 + 7 y \cdot 7}{14} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.5.1.1.2

Factoriza $y$ de $7 y \cdot 7$ .

$\frac{y \cdot 5 + y (7 \cdot 7)}{14} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.5.1.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 5 + y (7 \cdot 7)$ .

$\frac{y (5 + 7 \cdot 7)}{14} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

$\frac{y (5 + 7 \cdot 7)}{14} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.5.1.2

Multiplica $7$ por $7$ .

$\frac{y (5 + 49)}{14} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.5.1.3

Suma $5$ y $49$ .

$\frac{y \cdot 54}{14} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

$\frac{y \cdot 54}{14} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.5.2

Cancela el factor común de $54$ y $14$ .

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Paso 2.2.1.5.2.1

Factoriza $2$ de $y \cdot 54$ .

$\frac{2 (y \cdot 27)}{14} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$\frac{2 (y \cdot 27)}{2 (7)} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (y \cdot 27)}{2 \cdot 7} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y \cdot 27}{7} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

$\frac{y \cdot 27}{7} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

$\frac{y \cdot 27}{7} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 2.2.1.5.3

Mueve $27$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{27 y}{7} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

$\frac{27 y}{7} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

$\frac{27 y}{7} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

$\frac{27 y}{7} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

$\frac{27 y}{7} + \frac{2}{7} = 8$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{27 y}{7} + \frac{2}{7} = 8$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $\frac{2}{7}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{27 y}{7} = 8 - \frac{2}{7}$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 3.1.2

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{27 y}{7} = 8 \cdot \frac{7}{7} - \frac{2}{7}$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 3.1.3

Combina $8$ y $\frac{7}{7}$ .

$\frac{27 y}{7} = \frac{8 \cdot 7}{7} - \frac{2}{7}$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{27 y}{7} = \frac{8 \cdot 7 - 2}{7}$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 3.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $8$ por $7$ .

$\frac{27 y}{7} = \frac{56 - 2}{7}$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 3.1.5.2

Resta $2$ de $56$ .

$\frac{27 y}{7} = \frac{54}{7}$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

$\frac{27 y}{7} = \frac{54}{7}$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

$\frac{27 y}{7} = \frac{54}{7}$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 3.2

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$27 y = 54$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 3.3

Divide cada término en $27 y = 54$ por $27$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $27 y = 54$ por $27$ .

$\frac{27 y}{27} = \frac{54}{27}$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 y}{27} = \frac{54}{27}$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{54}{27}$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

$y = \frac{54}{27}$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

$y = \frac{54}{27}$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Divide $54$ por $27$ .

$y = 2$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

$y = 2$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

$y = 2$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

$y = 2$

$x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{10 y}{7} + \frac{8}{7}$ por $2$ .

$x = \frac{10 (2)}{7} + \frac{8}{7}$

$y = 2$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{10 (2)}{7} + \frac{8}{7}$ .

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Paso 4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{10 (2) + 8}{7}$

$y = 2$

Paso 4.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $10$ por $2$ .

$x = \frac{20 + 8}{7}$

$y = 2$

Paso 4.2.1.2.2

Suma $20$ y $8$ .

$x = \frac{28}{7}$

$y = 2$

Paso 4.2.1.2.3

Divide $28$ por $7$ .

$x = 4$

$y = 2$

$x = 4$

$y = 2$

$x = 4$

$y = 2$

$x = 4$

$y = 2$

$x = 4$

$y = 2$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(4, 2)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(4, 2)$

Forma de la ecuación:

$x = 4, y = 2$

Paso 7