Cálculo Ejemplos

$\int \frac{3 x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 8}} d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 8}} d x$

Paso 2

Sea $u = x^{3} + 8$ . Entonces $d u = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = x^{3} + 8$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x^{3} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 2.1.4

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Paso 2.1.5

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Paso 3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$3 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 5.1.3

Multiplica $\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 5.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 5.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 5.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 5.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 5.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} + 8$ .

$2 {(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{2}} + C$