Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\sin (x) + \cos (x)}{e^{x}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x) + \cos (x)}{e^{x}})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ y $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 3.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Paso 3.2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 3.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 3.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 3.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.4.1

Combina los términos opuestos en $e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}$ .

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Paso 3.6.4.1.1

Reordena los factores en los términos $e^{x} \cos (x)$ y $- \cos (x) e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

Paso 3.6.4.1.2

Resta $e^{x} \cos (x)$ de $e^{x} \cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} + 0}{e^{2 x}}$

Paso 3.6.4.1.3

Suma $e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x}$ y $0$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 3.6.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- e^{x} \sin (x) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 3.6.4.3

Resta $\sin (x) e^{x}$ de $- e^{x} \sin (x)$ .

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Paso 3.6.4.3.1

Mueve $\sin (x)$ .

$\frac{- e^{x} \sin (x) - 1 e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

Paso 3.6.4.3.2

Resta $e^{x} \sin (x)$ de $- e^{x} \sin (x)$ .

$\frac{- 2 e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

Paso 3.6.5

Cancela el factor común de $e^{x}$ y $e^{2 x}$ .

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Paso 3.6.5.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $- 2 e^{x} \sin (x)$ .

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x}}$

Paso 3.6.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.5.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 3.6.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 3.6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 e^{- x} \sin (x)}{1}$

Paso 3.6.5.2.4

Divide $- 2 e^{- x} \sin (x)$ por $1$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - 2 e^{- x} \sin (x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 e^{- x} \sin (x)$