Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.2.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.2.1

Combina los términos opuestos en $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Resta $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$

Paso 2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ como ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$- 2 (- 2 {(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$4 ({(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3} \cdot 1$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 2.4.2

Combina $4$ y $\frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$