Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\cos (x))$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\cos (x)))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\sec (x) (- \sin (x))$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reordena los factores de $\sec (x) (- \sin (x))$ .

$- \sec (x) \sin (x)$

Paso 3.4.2

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

Paso 3.4.3

Combina $\sin (x)$ y $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 3.4.4

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$- \tan (x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \tan (x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \tan (x)$