Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} + x - 12$ ; $[0, 24]$

Paso 1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[0, 24]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{0}^{24} x^{2} + x - 12 d x)$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{0}^{24} x^{2} d x + \int_{0}^{24} x d x + \int_{0}^{24} - 12 d x)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24} + \int_{0}^{24} x d x + \int_{0}^{24} - 12 d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24} + \int_{0}^{24} - 12 d x)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24} + - 12 x]_{0}^{24})$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Combina $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24}$ y $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24} + - 12 x]_{0}^{24})$

Paso 9.1.2

Combina $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24}$ y $- 12 x]_{0}^{24}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 12 x]_{0}^{24})$

Paso 9.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.2.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 12 x$ en $24$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 24^{3} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2

Simplifica.

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Paso 9.2.2.1

Eleva $24$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 13824 + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $13824$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{13824}{3} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.3

Cancela el factor común de $13824$ y $3$ .

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Paso 9.2.2.3.1

Factoriza $3$ de $13824$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{3 \cdot 4608}{3} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{3 \cdot 4608}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{3 \cdot 4608}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{4608}{1} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.3.2.4

Divide $4608$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.4

Eleva $24$ a la potencia de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{1}{2} \cdot 576 - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $576$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{576}{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.6

Cancela el factor común de $576$ y $2$ .

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Paso 9.2.2.6.1

Factoriza $2$ de $576$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{2 \cdot 288}{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{2 \cdot 288}{2 (1)} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{2 \cdot 288}{2 \cdot 1} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{288}{1} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.6.2.4

Divide $288$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + 288 - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.7

Suma $4608$ y $288$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4896 - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.8

Multiplica $- 12$ por $24$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4896 - 288 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.9

Resta $288$ de $4896$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.10

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.11

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.12

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0 - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.13

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + 0 - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.14

Suma $0$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 - 12 \cdot 0))$

Paso 9.2.2.15

Multiplica $- 12$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + 0))$

Paso 9.2.2.16

Suma $0$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - 0)$

Paso 9.2.2.17

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + 0)$

Paso 9.2.2.18

Suma $4608$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608)$

Paso 10

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 + 0} \cdot 4608$

Paso 10.2

Suma $24$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot 4608$

Paso 11

Cancela el factor común de $24$ .

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Paso 11.1

Factoriza $24$ de $4608$ .

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot (24 (192))$

Paso 11.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot (24 \cdot 192)$

Paso 11.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = 192$

Paso 12