Cálculo Ejemplos

$x e^{x}$

Paso 1

Escribe $x e^{x}$ como una función.

$f (x) = x e^{x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Paso 2.1.3.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x e^{x} + e^{x}$ .

$x e^{x} + e^{x}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x e^{x} + e^{x} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x e^{x} + e^{x} = 0$

Paso 3.2

Factoriza $e^{x}$ de $x e^{x} + e^{x}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $x e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} = 0$

Paso 3.2.2

Multiplica por $1$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ .

$e^{x} (x + 1) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 3.4

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 3.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.4.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 3.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{x} (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = - 1$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- 1$ .

$- 1$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = x e^{x} + e^{x}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = x e^{x}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2} + e^{- 2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}} + e^{- 2}$

Paso 6.2.1.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}} + e^{- 2}$

Paso 6.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- 2}$

Paso 6.2.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}$

Paso 6.2.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- 2) = \frac{- 2 + 1}{e^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.2.2.1

Suma $- 2$ y $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1}{e^{2}}$

Paso 6.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 2) = - \frac{1}{e^{2}}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{e^{2}}$ .

$- \frac{1}{e^{2}}$

Paso 6.3

En $x = - 2$ la derivada es $- \frac{1}{e^{2}}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = (0) \cdot e^{0} + e^{0}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{0}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $0$ por $1$ .

$f' (0) = 0 + e^{0}$

Paso 7.2.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Paso 7.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f' (0) = 1$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 7.3

En $x = 0$ la derivada es $1$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 1, \infty)$ .

Incremento en $(- 1, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 1, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 1)$

Paso 9