Cálculo Ejemplos

$\cos (2 y)$

Paso 1

Escribe

$\cos (2 y)$ como una función.

$f (y) = \cos (2 y)$

Paso 2

La función

$F (y)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada

$f (y)$ .

$F (y) = \int f (y) d y$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (y) = \int \cos (2 y) d y$

Paso 4

Sea

$u = 2 y$ . Entonces

$d u = 2 d y$ , de modo que

$\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescribe mediante

$u$ y

$d$

$u$ .

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Paso 4.1

Deja

$u = 2 y$ . Obtén

$\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia

$2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 4.1.2

Como

$2$ es constante con respecto a

$y$ , la derivada de

$2 y$ con respecto a

$y$ es

$2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es

$n y^{n - 1}$ donde

$n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$2$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante

$u$ y

$d u$ .

$\int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 5

Combina

$\cos (u)$ y

$\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Paso 6

Dado que

$\frac{1}{2}$ es constante con respecto a

$u$ , mueve

$\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Paso 7

La integral de

$\cos (u)$ con respecto a

$u$ es

$\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Paso 8

Simplifica.

$\frac{1}{2} \sin (u) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de

$u$ con

$2 y$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función

$f (y) = \cos (2 y)$ .

$F (y) =$

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C$