Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 4 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x^{3} - 4 \cdot 1$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$4 x^{3} - 4$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 0$

Paso 2.3.2

Suma $12 x^{2}$ y $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$4 x^{3} - 4 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x^{3} - 4 \cdot 1$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 4$ .

$4 x^{3} - 4$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 4 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 4 = 0$

Paso 5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} = 4$

Paso 5.3

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} - 4 = 0$

Paso 5.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.4.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3} - 4$ .

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Paso 5.4.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 4 = 0$

Paso 5.4.1.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 1) = 0$

Paso 5.4.1.3

Factoriza $4$ de $4 (x^{3}) + 4 (- 1)$ .

$4 (x^{3} - 1) = 0$

Paso 5.4.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$4 (x^{3} - 1^{3}) = 0$

Paso 5.4.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Paso 5.4.4

Factoriza.

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Paso 5.4.4.1

Simplifica.

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Paso 5.4.4.1.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

Paso 5.4.4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

Paso 5.4.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Paso 5.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Paso 5.6

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.6.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 5.6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5.7

Establece $x^{2} + x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.7.1

Establece $x^{2} + x + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Paso 5.7.2

Resuelve $x^{2} + x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.7.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.7.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.3

Simplifica.

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Paso 5.7.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.7.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 5.7.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.7.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 5.7.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.7.2.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 5.7.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.4.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.4.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.7.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.7.2.4.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.7.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Paso 5.7.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Paso 5.7.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.7.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.7.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.7.2.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 5.7.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.5.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.5.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.7.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.7.2.5.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.7.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Paso 5.7.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Paso 5.7.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.7.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 1$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 {(1)}^{2}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$12 \cdot 1$

Paso 9.2

Multiplica $12$ por $1$ .

$12$

Paso 10

$x = 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{4} - 4 \cdot 1$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 4$

Paso 11.2.2

Resta $4$ de $1$ .

$f (1) = - 3$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $- 3$ .

$y = - 3$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{4} - 4 x$ .

$(1, - 3)$ es un mínimo local

Paso 13