Cálculo Ejemplos

$\frac{2 x + 5}{3 x - 4}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{2 y + 5}{3 y - 4}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Multiplica la ecuación por $3 y - 4$ .

$(3 y - 4) (x) = (\frac{2 y + 5}{3 y - 4}) (3 y - 4)$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y x - 4 x = (\frac{2 y + 5}{3 y - 4}) (3 y - 4)$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $3 y - 4$ .

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común.

$3 y x - 4 x = \frac{2 y + 5}{3 y - 4} (3 y - 4)$

Paso 2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$3 y x - 4 x = 2 y + 5$

Paso 2.4

Resuelve $y$

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Paso 2.4.1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y x - 4 x - 2 y = 5$

Paso 2.4.2

Suma $4 x$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y x - 2 y = 5 + 4 x$

Paso 2.4.3

Factoriza $y$ de $3 y x - 2 y$ .

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Paso 2.4.3.1

Factoriza $y$ de $3 y x$ .

$y (3 x) - 2 y = 5 + 4 x$

Paso 2.4.3.2

Factoriza $y$ de $- 2 y$ .

$y (3 x) + y \cdot - 2 = 5 + 4 x$

Paso 2.4.3.3

Factoriza $y$ de $y (3 x) + y \cdot - 2$ .

$y (3 x - 2) = 5 + 4 x$

Paso 2.4.4

Divide cada término en $y (3 x - 2) = 5 + 4 x$ por $3 x - 2$ y simplifica.

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Paso 2.4.4.1

Divide cada término en $y (3 x - 2) = 5 + 4 x$ por $3 x - 2$ .

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{5}{3 x - 2} + \frac{4 x}{3 x - 2}$

Paso 2.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.4.2.1

Cancela el factor común de $3 x - 2$ .

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Paso 2.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{5}{3 x - 2} + \frac{4 x}{3 x - 2}$

Paso 2.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{5}{3 x - 2} + \frac{4 x}{3 x - 2}$

Paso 2.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{5 + 4 x}{3 x - 2}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 + 4 x}{3 x - 2}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{5 + 4 x}{3 x - 2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{2 x + 5}{3 x - 4}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{5 + 4 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4})}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Paso 4.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1

Combina $4$ y $\frac{2 x + 5}{3 x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{5 + \frac{4 (2 x + 5)}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Paso 4.2.3.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{5 (3 x - 4)}{3 x - 4} + \frac{4 (2 x + 5)}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Paso 4.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{5 (3 x - 4) + 4 (2 x + 5)}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Paso 4.2.3.4

Reescribe $\frac{5 (3 x - 4) + 4 (2 x + 5)}{3 x - 4}$ en forma factorizada.

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Paso 4.2.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{5 (3 x) + 5 \cdot - 4 + 4 (2 x + 5)}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Paso 4.2.3.4.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{15 x + 5 \cdot - 4 + 4 (2 x + 5)}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Paso 4.2.3.4.3

Multiplica $5$ por $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{15 x - 20 + 4 (2 x + 5)}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Paso 4.2.3.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{15 x - 20 + 4 (2 x) + 4 \cdot 5}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Paso 4.2.3.4.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{15 x - 20 + 8 x + 4 \cdot 5}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Paso 4.2.3.4.6

Multiplica $4$ por $5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{15 x - 20 + 8 x + 20}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Paso 4.2.3.4.7

Suma $15 x$ y $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x - 20 + 20}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Paso 4.2.3.4.8

Suma $- 20$ y $20$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x + 0}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Paso 4.2.3.4.9

Suma $23 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{3 (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) - 2}$

Paso 4.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.4.1

Combina $3$ y $\frac{2 x + 5}{3 x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{3 (2 x + 5)}{3 x - 4} - 2}$

Paso 4.2.4.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{3 (2 x + 5)}{3 x - 4} - 2 \cdot \frac{3 x - 4}{3 x - 4}}$

Paso 4.2.4.3

Combina $- 2$ y $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{3 (2 x + 5)}{3 x - 4} + \frac{- 2 (3 x - 4)}{3 x - 4}}$

Paso 4.2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{3 (2 x + 5) - 2 (3 x - 4)}{3 x - 4}}$

Paso 4.2.4.5

Reescribe $\frac{3 (2 x + 5) - 2 (3 x - 4)}{3 x - 4}$ en forma factorizada.

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Paso 4.2.4.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 5 - 2 (3 x - 4)}{3 x - 4}}$

Paso 4.2.4.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{6 x + 3 \cdot 5 - 2 (3 x - 4)}{3 x - 4}}$

Paso 4.2.4.5.3

Multiplica $3$ por $5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{6 x + 15 - 2 (3 x - 4)}{3 x - 4}}$

Paso 4.2.4.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{6 x + 15 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 4}{3 x - 4}}$

Paso 4.2.4.5.5

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{6 x + 15 - 6 x - 2 \cdot - 4}{3 x - 4}}$

Paso 4.2.4.5.6

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{6 x + 15 - 6 x + 8}{3 x - 4}}$

Paso 4.2.4.5.7

Resta $6 x$ de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{0 + 15 + 8}{3 x - 4}}$

Paso 4.2.4.5.8

Suma $0$ y $15$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{15 + 8}{3 x - 4}}$

Paso 4.2.4.5.9

Suma $15$ y $8$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 4}}{\frac{23}{3 x - 4}}$

Paso 4.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{23 x}{3 x - 4} \cdot \frac{3 x - 4}{23}$

Paso 4.2.6

Cancela el factor común de $23$ .

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Paso 4.2.6.1

Factoriza $23$ de $23 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{23 (x)}{3 x - 4} \cdot \frac{3 x - 4}{23}$

Paso 4.2.6.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{23 x}{3 x - 4} \cdot \frac{3 x - 4}{23}$

Paso 4.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4)$

Paso 4.2.7

Cancela el factor común de $3 x - 4$ .

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Paso 4.2.7.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = \frac{x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4)$

Paso 4.2.7.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 5}{3 x - 4}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{2 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) + 5}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Paso 4.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.3.1

Combina $2$ y $\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 + 4 x)}{3 x - 2} + 5}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Paso 4.3.3.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 + 4 x)}{3 x - 2} + \frac{5 (3 x - 2)}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Paso 4.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 + 4 x) + 5 (3 x - 2)}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Paso 4.3.3.4

Reordena los términos.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{5 (3 x - 2) + 2 (5 + 4 x)}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Paso 4.3.3.5

Reescribe $\frac{5 (3 x - 2) + 2 (5 + 4 x)}{3 x - 2}$ en forma factorizada.

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Paso 4.3.3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{5 (3 x) + 5 \cdot - 2 + 2 (5 + 4 x)}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Paso 4.3.3.5.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{15 x + 5 \cdot - 2 + 2 (5 + 4 x)}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Paso 4.3.3.5.3

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{15 x - 10 + 2 (5 + 4 x)}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Paso 4.3.3.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{15 x - 10 + 2 \cdot 5 + 2 (4 x)}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Paso 4.3.3.5.5

Multiplica $2$ por $5$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{15 x - 10 + 10 + 2 (4 x)}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Paso 4.3.3.5.6

Multiplica $4$ por $2$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{15 x - 10 + 10 + 8 x}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Paso 4.3.3.5.7

Suma $15 x$ y $8 x$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x - 10 + 10}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Paso 4.3.3.5.8

Suma $- 10$ y $10$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x + 0}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Paso 4.3.3.5.9

Suma $23 x$ y $0$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{3 (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) - 4}$

Paso 4.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.4.1

Combina $3$ y $\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (5 + 4 x)}{3 x - 2} - 4}$

Paso 4.3.4.2

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (5 + 4 x)}{3 x - 2} - 4 \cdot \frac{3 x - 2}{3 x - 2}}$

Paso 4.3.4.3

Combina $- 4$ y $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (5 + 4 x)}{3 x - 2} + \frac{- 4 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Paso 4.3.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (5 + 4 x) - 4 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Paso 4.3.4.5

Reescribe $\frac{3 (5 + 4 x) - 4 (3 x - 2)}{3 x - 2}$ en forma factorizada.

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Paso 4.3.4.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{3 \cdot 5 + 3 (4 x) - 4 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Paso 4.3.4.5.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{15 + 3 (4 x) - 4 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Paso 4.3.4.5.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{15 + 12 x - 4 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Paso 4.3.4.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{15 + 12 x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 2}{3 x - 2}}$

Paso 4.3.4.5.5

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{15 + 12 x - 12 x - 4 \cdot - 2}{3 x - 2}}$

Paso 4.3.4.5.6

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{15 + 12 x - 12 x + 8}{3 x - 2}}$

Paso 4.3.4.5.7

Suma $15$ y $8$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{12 x - 12 x + 23}{3 x - 2}}$

Paso 4.3.4.5.8

Resta $12 x$ de $12 x$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{0 + 23}{3 x - 2}}$

Paso 4.3.4.5.9

Suma $0$ y $23$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{23 x}{3 x - 2}}{\frac{23}{3 x - 2}}$

Paso 4.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{23 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{23}$

Paso 4.3.6

Cancela el factor común de $23$ .

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Paso 4.3.6.1

Factoriza $23$ de $23 x$ .

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{23 (x)}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{23}$

Paso 4.3.6.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{23 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{23}$

Paso 4.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Paso 4.3.7

Cancela el factor común de $3 x - 2$ .

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Paso 4.3.7.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Paso 4.3.7.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 + 4 x}{3 x - 2}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{5 + 4 x}{3 x - 2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{2 x + 5}{3 x - 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 + 4 x}{3 x - 2}$