Cálculo Ejemplos

$y = f (x)$

Paso 1

Escribe $y = f (x)$ como una función.

$f (x) = f (x)$

Paso 2

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $f (x)$ es $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $d$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{d f}{d x})$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{f}{x})$

Paso 3.2

Como $f$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{f}{x}$ con respecto a $x$ es $f \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = f \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = f \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = f (- x^{- 2})$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = f (- \frac{1}{x^{2}})$

Paso 3.5.2

Combina $f$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{f}{x^{2}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{d f}{d x} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $f (x)$ es $\frac{d f}{d x}$ .

$f' (x) = \frac{d f}{d x}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{d f}{d x} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{d f}{d x} = 0$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $d$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{d f}{d x} = 0$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{f}{x} = 0$

Paso 6.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $x$ .

$f = x (0)$

Paso 6.4

Reescribe la ecuación como $x (0) = f$ .

$x (0) = f$

Paso 6.5

Multiplica $x$ por $0$ .

$0 = f$

Paso 6.6

Reescribe $0 = f$ para que $f$ quede en el lado izquierdo.

$f = 0$

Paso 6.7

La variable $x$ se canceló.

Todos los números reales

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Establece el denominador en $\frac{d f}{d x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$d x = 0$

Paso 7.2

Divide cada término en $d x = 0$ por $x$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $d x = 0$ por $x$ .

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $d$ por $1$ .

$d = \frac{0}{x}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Divide $0$ por $x$ .

$d = 0$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = A l \cdot l$ real $n u m b e r s, 0$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{f}{{(A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s))}^{2}}$

Paso 10

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1

Combina exponentes.

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Paso 10.1.1

Eleva $l$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l) r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Paso 10.1.2

Eleva $l$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l^{1}) r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Paso 10.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{f}{{(A l^{1 + 1} r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Paso 10.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{2} r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Paso 10.1.5

Eleva $l$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l^{2}) r e a n u m b e r s)}^{2}}$

Paso 10.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{f}{{(A l^{1 + 2} r e a n u m b e r s)}^{2}}$

Paso 10.1.7

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r e a n u m b e r s)}^{2}}$

Paso 10.1.8

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b (e^{1} e) r s)}^{2}}$

Paso 10.1.9

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b (e^{1} e^{1}) r s)}^{2}}$

Paso 10.1.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b e^{1 + 1} r s)}^{2}}$

Paso 10.1.11

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b e^{2} r s)}^{2}}$

Paso 10.1.12

Eleva $r$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} (r^{1} r) s)}^{2}}$

Paso 10.1.13

Eleva $r$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} (r^{1} r^{1}) s)}^{2}}$

Paso 10.1.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{1 + 1} s)}^{2}}$

Paso 10.1.15

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s)}^{2}}$

Paso 10.2

Aplica la regla del producto a $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2})}^{2} s^{2}}$

Paso 10.3

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 10.3.1

Aplica la regla del producto a $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2}$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Paso 10.3.2

Aplica la regla del producto a $A l^{3} a n u m b e^{2}$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b)}^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Paso 10.3.3

Aplica la regla del producto a $A l^{3} a n u m b$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m)}^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Paso 10.3.4

Aplica la regla del producto a $A l^{3} a n u m$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u)}^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Paso 10.3.5

Aplica la regla del producto a $A l^{3} a n u$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n)}^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Paso 10.3.6

Aplica la regla del producto a $A l^{3} a n$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a)}^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Paso 10.3.7

Aplica la regla del producto a $A l^{3} a$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3})}^{2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Paso 10.3.8

Aplica la regla del producto a $A l^{3}$ .

$- \frac{f}{A^{2} {(l^{3})}^{2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Paso 10.4

Multiplica los exponentes en ${(l^{3})}^{2}$ .

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Paso 10.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{3 \cdot 2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Paso 10.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Paso 10.5

Multiplica los exponentes en ${(e^{2})}^{2}$ .

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Paso 10.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{2 \cdot 2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Paso 10.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Paso 10.6

Multiplica los exponentes en ${(r^{2})}^{2}$ .

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Paso 10.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} r^{2 \cdot 2} s^{2}}$

Paso 10.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} r^{4} s^{2}}$

Paso 11

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 12