Cálculo Ejemplos

h (w) = \frac{5 w^{6} - w}{w}

$h (w) = \frac{5 w^{6} - w}{w}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que

\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]

$\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ es

\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}

$\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ donde

f (w) = 5 w^{6} - w

$f (w) = 5 w^{6} - w$ y

g (w) = w

$g (w) = w$ .

\frac{w \frac{d}{d w} [5 w^{6} - w] - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w \frac{d}{d w} [5 w^{6} - w] - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de

5 w^{6} - w

$5 w^{6} - w$ con respecto a

w

$w$ es

\frac{d}{d w} [5 w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]

$\frac{d}{d w} [5 w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]$ .

\frac{w (\frac{d}{d w} [5 w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (\frac{d}{d w} [5 w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Paso 3

Evalúa

\frac{d}{d w} [5 w^{6}]

$\frac{d}{d w} [5 w^{6}]$ .

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Paso 3.1

Como

5

$5$ es constante con respecto a

w

$w$ , la derivada de

5 w^{6}

$5 w^{6}$ con respecto a

w

$w$ es

5 \frac{d}{d w} [w^{6}]

$5 \frac{d}{d w} [w^{6}]$ .

\frac{w (5 \frac{d}{d w} [w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (5 \frac{d}{d w} [w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d w} [w^{n}]

$\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es

n w^{n - 1}

$n w^{n - 1}$ donde

n = 6

$n = 6$ .

\frac{w (5 (6 w^{5}) + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (5 (6 w^{5}) + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica

6

$6$ por

5

$5$ .

\frac{w (30 w^{5} + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

\frac{w (30 w^{5} + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Paso 4

Evalúa

\frac{d}{d w} [- w]

$\frac{d}{d w} [- w]$ .

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Paso 4.1

Como

- 1

$- 1$ es constante con respecto a

w

$w$ , la derivada de

- w

$- w$ con respecto a

w

$w$ es

- \frac{d}{d w} [w]

$- \frac{d}{d w} [w]$ .

\frac{w (30 w^{5} - \frac{d}{d w} [w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} - \frac{d}{d w} [w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es

$n w^{n - 1}$ donde

$n = 1$ .

$\frac{w (30 w^{5} - 1 \cdot 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Paso 4.3

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es

$n w^{n - 1}$ donde

$n = 1$ .

$\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \cdot 1}{w^{2}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6} - w) \cdot 1}{w^{2}}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 + (- (5 w^{6}) - - w) \cdot 1}{w^{2}}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Paso 6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{30 w \cdot w^{5} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Paso 6.4.1.2

Multiplica

$w$ por

$w^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.2.1

Mueve

$w^{5}$ .

$\frac{30 (w^{5} w) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Paso 6.4.1.2.2

Multiplica

$w^{5}$ por

$w$ .

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Paso 6.4.1.2.2.1

Eleva

$w$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{30 (w^{5} w^{1}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Paso 6.4.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{30 w^{5 + 1} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Paso 6.4.1.2.3

Suma

$5$ y

$1$ .

$\frac{30 w^{6} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Paso 6.4.1.3

Mueve

$- 1$ a la izquierda de

$w$ .

$\frac{30 w^{6} - 1 \cdot w - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Paso 6.4.1.4

Reescribe

$- 1 w$ como

$- w$ .

$\frac{30 w^{6} - w - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Paso 6.4.1.5

Multiplica

$5$ por

$- 1$ .

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Paso 6.4.1.6

Multiplica

$- 5$ por

$1$ .

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Paso 6.4.1.7

Multiplica

$- - w$ .

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Paso 6.4.1.7.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} + 1 w \cdot 1}{w^{2}}$

Paso 6.4.1.7.2

Multiplica

$w$ por

$1$ .

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} + w \cdot 1}{w^{2}}$

Paso 6.4.1.8

Multiplica

$w$ por

$1$ .

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} + w}{w^{2}}$

Paso 6.4.2

Combina los términos opuestos en

$30 w^{6} - w - 5 w^{6} + w$ .

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Paso 6.4.2.1

Suma

$- w$ y

$w$ .

$\frac{30 w^{6} - 5 w^{6} + 0}{w^{2}}$

Paso 6.4.2.2

Suma

$30 w^{6} - 5 w^{6}$ y

$0$ .

$\frac{30 w^{6} - 5 w^{6}}{w^{2}}$

Paso 6.4.3

Resta

$5 w^{6}$ de

$30 w^{6}$ .

$\frac{25 w^{6}}{w^{2}}$

Paso 6.5

Cancela el factor común de

$w^{6}$ y

$w^{2}$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza

$w^{2}$ de

$25 w^{6}$ .

$\frac{w^{2} (25 w^{4})}{w^{2}}$

Paso 6.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.5.2.1

Multiplica por

$1$ .

$\frac{w^{2} (25 w^{4})}{w^{2} \cdot 1}$

Paso 6.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{w^{2} (25 w^{4})}{w^{2} \cdot 1}$

Paso 6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{25 w^{4}}{1}$

Paso 6.5.2.4

Divide

$25 w^{4}$ por

$1$ .

$25 w^{4}$