Cálculo Ejemplos

lim_{x \to - \infty} x e^{x}

$lim_{x \to - \infty} x e^{x}$

Paso 1

Reescribe

x e^{x}

$x e^{x}$ como

\frac{x}{e^{- x}}

$\frac{x}{e^{- x}}$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}

$\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Paso 2.1.2

El límite al infinito negativo de un polinomio de grado impar con coeficiente principal positivo es infinito negativo.

\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Paso 2.1.3

Como el exponente

- x

$- x$ se acerca a

\infty

$\infty$ , la cantidad

e^{- x}

$e^{- x}$ se acerca a

\infty

$\infty$ .

\frac{- \infty}{\infty}

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 2.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

\frac{- \infty}{\infty}

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 2.2

Como

\frac{- \infty}{\infty}

$\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ donde

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ y

g (x) = - x

$g (x) = - x$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece

u

$u$ como

- x

$- x$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es

a^{u} \ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ donde

a

$a$ =

e

$e$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de

u

$u$ con

- x

$- x$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 2.3.4

Como

- 1

$- 1$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

- x

$- x$ con respecto a

x

$x$ es

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}$

Paso 2.3.6

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}$

Paso 2.3.7

Mueve

- 1

$- 1$ a la izquierda de

e^{- x}

$e^{- x}$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Paso 2.3.8

Reescribe

- 1 e^{- x}

$- 1 e^{- x}$ como

- e^{- x}

$- e^{- x}$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

Paso 2.4

Cancela el factor común de

1

$1$ y

- 1

$- 1$ .

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Paso 2.4.1

Reescribe

1

$1$ como

- 1 (- 1)

$- 1 (- 1)$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

Paso 2.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

Paso 3

Mueve el término

- 1

$- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a

x

$x$ .

- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción

\frac{1}{e^{- x}}

$\frac{1}{e^{- x}}$ se acerca a

0

$0$ .

- 0

$- 0$

Paso 5

Multiplica

- 1

$- 1$ por

0

$0$ .

0

$0$