Cálculo Ejemplos

f (x) = \sqrt{x}

$f (x) = \sqrt{x}$ ,

a = 9

$a = 9$

Paso 1

Considera la función utilizada para buscar la linealización en

a

$a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Paso 2

Sustituye el valor de

$a = 9$ en la función de linealización.

$L (x) = f (9) + f' (9) (x - 9)$

Paso 3

Evalúa

$f (9)$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$9$ en la expresión.

$f (9) = \sqrt{9}$

Paso 3.2

Simplifica

$\sqrt{9}$ .

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Paso 3.2.1

Elimina los paréntesis.

$(\sqrt{9})$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$\sqrt{9}$

Paso 3.2.3

Reescribe

$9$ como

$3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Paso 3.2.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$3$

Paso 4

Obtén la derivada y evalúala en

$9$ .

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Paso 4.1

Obtén la derivada de

$f (x) = \sqrt{x}$ .

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Paso 4.1.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{x}$ como

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 4.1.3

Para escribir

$- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 4.1.4

Combina

$- 1$ y

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 4.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 4.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.6.1

Multiplica

$- 1$ por

$2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 4.1.6.2

Resta

$2$ de

$1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 4.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.1.8

Simplifica.

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Paso 4.1.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.8.2

Multiplica

$\frac{1}{2}$ por

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2

Reemplaza la variable

$x$ con

$9$ en la expresión.

$\frac{1}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1.1

Reescribe

$9$ como

$3^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 4.3.1.3

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 4.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 4.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{1}}$

Paso 4.3.1.4

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.2

Multiplica

$2$ por

$3$ .

$\frac{1}{6}$

Paso 5

Sustituye los componentes en la función de linealización para obtener la linealización en

$a$ .

$L (x) = 3 + \frac{1}{6} (x - 9)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$L (x) = 3 + \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Paso 6.1.2

Combina

$\frac{1}{6}$ y

$x$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Paso 6.1.3

Cancela el factor común de

$3$ .

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Paso 6.1.3.1

Factoriza

$3$ de

$6$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

Paso 6.1.3.2

Factoriza

$3$ de

$- 9$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Paso 6.1.3.3

Cancela el factor común.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Paso 6.1.3.4

Reescribe la expresión.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Paso 6.1.4

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$- 3$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

Paso 6.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

Paso 6.2

Para escribir

$3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{2}{2}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 6.3

Combina

$3$ y

$\frac{2}{2}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 2 - 3}{2}$

Paso 6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.5.1

Multiplica

$3$ por

$2$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{6 - 3}{2}$

Paso 6.5.2

Resta

$3$ de

$6$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

Paso 7