Cálculo Ejemplos

$\sin^{2} (θ)$

Paso 1

Escribe $\sin^{2} (θ)$ como una función.

$f (θ) = \sin^{2} (θ)$

Paso 2

La función $F (θ)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (θ) = \int \sin^{2} (θ) d θ$

Paso 4

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (θ)$ como $\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 θ)}{2} d θ$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $θ$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 θ) d θ$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int d θ + \int - \cos (2 θ) d θ)$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (θ + C + \int - \cos (2 θ) d θ)$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $θ$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (2 θ) d θ)$

Paso 9

Sea $u = 2 θ$ . Entonces $d u = 2 d θ$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d θ$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 9.1

Deja $u = 2 θ$ . Obtén $\frac{d u}{d θ}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $2 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [2 θ]$

Paso 9.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $2 θ$ con respecto a $θ$ es $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [θ]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 9.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 10

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (θ + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Paso 12

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Paso 13

Simplifica.

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 θ$ .

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (2 θ)) + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Combina $\sin (2 θ)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (θ - \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Paso 15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} θ + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Paso 15.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $θ$ .

$\frac{θ}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Paso 15.4

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2})$ .

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Paso 15.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 θ)}{2}$ .

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{2 \cdot 2} + C$

Paso 15.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{4} + C$

Paso 16

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$

Paso 17

La respuesta es la antiderivada de la función $f (θ) = \sin^{2} (θ)$ .

$F (θ) =$ $\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$