Cálculo Ejemplos

$x = 2 y - y^{2}$

Paso 1

Reordena $2 y$ y $- y^{2}$ .

$x = - y^{2} + 2 y$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $- y^{2} + 2 y$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{- 1}$

Paso 2.1.1.3.2.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Paso 2.1.1.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Paso 2.1.1.4.2.1.3

Divide $4$ por $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Paso 2.1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Paso 2.1.1.4.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$e = 1$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(y - 1)}^{2} + 1$ .

$- {(y - 1)}^{2} + 1$

Paso 2.1.2

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = - {(y - 1)}^{2} + 1$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 1$

$h = 1$

$k = 1$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda.

Abre hacia la izquierda

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(1, 1)$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.5.3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 2.5.3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{3}{4}, 1)$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 1$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = \frac{5}{4}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(1, 1)$

Foco: $(\frac{3}{4}, 1)$

Eje de simetría: $y = 1$

Directriz: $x = \frac{5}{4}$

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(1, 1)$

Foco: $(\frac{3}{4}, 1)$

Eje de simetría: $y = 1$

Directriz: $x = \frac{5}{4}$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Sustituye el valor $x$ $- 1$ en $f (x) = 1 + \sqrt{1 - x}$ . En este caso, el punto es $(- 1, 2.41421356)$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 1 + \sqrt{1 - (- 1)}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + \sqrt{1 + 1}$

Paso 3.1.2.1.2

Suma $1$ y $1$ .

$f (- 1) = 1 + \sqrt{2}$

Paso 3.1.2.2

La respuesta final es $1 + \sqrt{2}$ .

$y = 1 + \sqrt{2}$

Paso 3.1.3

Convierte $1 + \sqrt{2}$ a decimal.

$= 2.41421356$

Paso 3.2

Sustituye el valor $x$ $- 1$ en $f (x) = 1 - \sqrt{1 - x}$ . En este caso, el punto es $(- 1, - 0.41421356)$ .

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Paso 3.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 1 - \sqrt{1 - (- 1)}$

Paso 3.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - \sqrt{1 + 1}$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $1$ y $1$ .

$f (- 1) = 1 - \sqrt{2}$

Paso 3.2.2.2

La respuesta final es $1 - \sqrt{2}$ .

$y = 1 - \sqrt{2}$

Paso 3.2.3

Convierte $1 - \sqrt{2}$ a decimal.

$= - 0.41421356$

Paso 3.3

Sustituye el valor $x$ $0$ en $f (x) = 1 + \sqrt{1 - x}$ . En este caso, el punto es $(0, 2)$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 1 + \sqrt{1 - (0)}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 1 + \sqrt{1 + 0}$

Paso 3.3.2.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$f (0) = 1 + \sqrt{1}$

Paso 3.3.2.1.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (0) = 1 + 1$

Paso 3.3.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$f (0) = 2$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $2$ .

$y = 2$

Paso 3.3.3

Convierte $2$ a decimal.

$= 2$

Paso 3.4

Sustituye el valor $x$ $0$ en $f (x) = 1 - \sqrt{1 - x}$ . En este caso, el punto es $(0, 0)$ .

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Paso 3.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 1 - \sqrt{1 - (0)}$

Paso 3.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 1 - \sqrt{1 + 0}$

Paso 3.4.2.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$f (0) = 1 - \sqrt{1}$

Paso 3.4.2.1.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (0) = 1 - 1 \cdot 1$

Paso 3.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (0) = 1 - 1$

Paso 3.4.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.4.2.3

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 3.4.3

Convierte $0$ a decimal.

$= 0$

Paso 3.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2.41 \\ - 1 & - 0.41 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(1, 1)$

Foco: $(\frac{3}{4}, 1)$

Eje de simetría: $y = 1$

Directriz: $x = \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2.41 \\ - 1 & - 0.41 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}$

Paso 5