Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Paso 1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Paso 1.3

Como el exponente $x^{2}$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x^{2}}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x^{2}} (2 x)}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Reordena los factores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{x^{2}} x}$

Paso 3.5.2

Reordena los factores en $2 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{2 x e^{x^{2}}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{2 x e^{x^{2}}}$

Paso 4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1

Factoriza $x$ de $2 x e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{x (2 e^{x^{2}})}$

Paso 4.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{x (2 e^{x^{2}})}$

Paso 4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{2 e^{x^{2}}}$

Paso 4.2

Mueve el término $\frac{3}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Paso 5.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Paso 5.1.3

Como el exponente $x^{2}$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x^{2}}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Paso 5.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Paso 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Paso 5.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Paso 5.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 5.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} \cdot 2 x}$

Paso 5.3.5

Simplifica.

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Paso 5.3.5.1

Reordena los factores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 e^{x^{2}} x}$

Paso 5.3.5.2

Reordena los factores en $2 e^{x^{2}} x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x e^{x^{2}}}$

Paso 6

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x^{2}}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x e^{x^{2}}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 8.1.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot 0$

Paso 8.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3}{4} \cdot 0$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $0$ .

$0$